Нормальное (нормированное) уравнение прямой

Пусть существует прямая L. Проведем вектор, перпендикулярный, через начало координат. Р — точка пересечения прямой и нормали.

На нормали введем положительное направление от О к Р.

Пусть — полярный угол нормали,.

— полярный угол вектора. Обозначим |ОР| = р. Выберем на прямой точку М (х, у). Проекция вектора на нормаль определяется как.

np_n= p (14).

Найдем выражение np_n через координаты точки М. Пусть — полярные координаты точки М.

np_n=

.

np_n= (15).

Из (1) и (2) => или (16).

Уравнение (16) — это нормальное уравнение прямой.

Расстояние от точки до прямой

Пусть М^* — любая точка плоскости, d — её расстояние от данной прямой.

Определение. Отклонением точки М* от данной прямой называется число (+d), если М* лежит по ту сторону от прямой, куда указывает положительное направление нормали, и (-d) — в обратном случае.

= ±d

Теорема. Пусть точка М* (х*, у*) произвольная точка плоскости, L — прямая, заданная уравнением xcosб + ysinб — р = 0. Отклонение точки М* от этой прямой задается формулой.

. (17).

Доказательство. Проекция точки М* на нормаль — точка. Отклонение точки М* от прямой.

д= PQ = OQ — OP.

Но OQ = np_n, а ОР = р д = np_n* - р

np_n= .

Таким образом, отклонение точки М* от прямой легко вычисляется, если прямая задана нормальным уравнением. Достаточно лишь подставить в нормальное уравнение прямой координаты точки.

Пусть прямая задана общим уравнением: Ах + Ву + С = 0, а.

x cosб + y sinб — р = 0 — её нормальное уравнение.

Поскольку два уравнения определяют одну прямую, их коэффициенты должны быть пропорциональны. Уравнение.

(18).

совпадает с нормальным уравнением. Тогда.

;

.

Отсюда можно найти :

— нормирующий множитель уравнения прямой.

Определим знак нормирующего множителя:

µС = - р < 0.

Следовательно, знак µ противоположен знаку С в уравнении. (Если С = 0 — знак µ произвольный).