Математическая модель расчёта

Математическая модель расчёта построена на решении первого уравнения Максвелла для цилиндрической симметрии исследуемых электромагнитных полей. В простейшей постановке задачи переменное однородное аксиальное магнитное поле формирует поток через цилиндр, при котором возникающее вихревое электрическое поле имеет одну азимутальную компоненту.

Тогда, внешнее магнитное поле имеет одну единственную компоненту. Его зависимость во времени имеет вид.

(1).

где B0=const не зависит от координат системы и в расчётах ограничено в радиальном направлении внешним радиусом цилиндра R.

На рис. 1 представлена ориентация проводящего цилиндра по отношению к направлению поля Bz. Радиус отверстия цилиндра обозначен через r1, а произвольная толщина цилиндра обозначена через h.

Магнитное поле, имеющее одну компоненту Bz, порождает в цилиндре вихревое электрическое поле, напряженность которого также имеет одну компоненту в случае, если вектор индукции направлен точно по оси z.

Распределение вихревого электрического поля в пространстве кольца описывается первым уравнением Максвелла.

(2).

Переписанное в проекциях для полей Bz и Eц, оно имеет вид.

. (3).

Рис. 1. Ориентация проводящего цилиндра по отношению к осевому магнитному полю

Предполагая, что вихревое электрическое поле совпадает по фазе со скоростью изменения магнитного поля.

из уравнения (3) получим уравнение, связывающее E0(r) и B0.

. (5).

Его решение для E0(r) имеет вид.

. (6).

В решении (6) избавимся от особенности при, полагая C1=0. Из (6) видно, что азимутальная компонента вектора напряженности вихревого электрического поля — линейная функция радиуса с масштабом.

. (7).

Распределение вихревого поля в однородном проводящем цилиндре создает вихревые токи Фуко, плотность тока которых имеет такое же направление в пространстве и рассчитывается из локального закона Ома.

(8).

где — удельное сопротивление цилиндра.

Из (8) видно, что плотность тока Фуко в однородной проводящей среде =const также является линейной функцией радиуса и также зависит от времени, как и Eц.

(9).

где j0(r) связано с масштабом плотности тока.

(10).

соотношением.

. (11).

Из соотношения (10) для масштаба плотности тока видно, что при прочих равных условиях он может достигать больших значений на высоких частотах для проводящей среды с малым значением удельного сопротивления. Это будет приводить к существенному нагреву проводящих цилиндров на высоких частотах.

Удельная тепловая мощность, выделяемая в локальной области проводника при протекании токов Фуко, рассчитывается из закона Джоуля Ленца:

(12).

где (13).

масштаб объемной плотности тепловой мощности.

Как видно из (13), масштаб плотности уже пропорционален квадрату частоты и для проводящей среды с произвольным значением удельного сопротивления оказывается наиболее значительным на внешней границе цилиндра. Это будет приводить к выгоранию его внешней боковой поверхности.

Поскольку напряженность вихревого поля Eц зависит линейно от радиуса, то элементарная электродвижущая сила (ЭДС) индукции также будет зависеть от радиуса и момента времени. Направления векторов напряжённости и плотности тока на силовой линии представлены на рис. 2. Из рисунка видно, что элементарная индукция квадратично зависит от радиуса.

Рис. 2. Направление векторов напряжённости и плотности тока в цилиндре. (14)

В (14) учтено, что вектор совпадает с вектором .

На одной замкнутой силовой линии вихревого поля электродвижущая сила индукции зависит от ее радиуса.

(15).

где (16).

масштаб электродвижущей силы индукции.

Усредненное по радиусу значение ЭДС сохраняет ту же зависимость от времени.

(17).

Полный ток, индуцированный в кольце и пересекающий площадь поперечного сечения, может быть получен из интегрирования для фиксированного момента времени.

(18).

где (19).

масштаб индукционного тока.

Соотношения (18) и (19) позволяют определить независящее от времени усредненное значение интегрального омического сопротивления цилиндра индукционному току.

(20).

где (21).

— масштаб омического сопротивления цилиндра.

На рис. 3 представлен график зависимости приведенного омического сопротивления <R>/R* от приведенного радиуса полости r1/R. Из него видно, что приведенное усредненное значение омического сопротивления при совпадает с единицей, а для тонких цилиндров при стремится к +.

Это свойство усредненного интегрального омического сопротивления позволит при реализации тонких цилиндров искусственно уменьшать тепловое энерговыделение проводника на высоких частотах изменением приведённого радиуса полости.

Рис 3. Зависимость приведённого омического сопротивления от приведённого радиуса полости цилиндра