Нахождение положения точки по известной скорости при движении вдоль заданной кривой

Вы едете по шоссе на автомобиле и фиксируете каждую минуту показания спидометра. Можно ли по этим данным за некоторое время определить путь, пройденный автомобилем за это время? Ответ утвердительный.

Математически проблема состоит в следующем. Точка движется по заданной кривой, и ее скорость — известная функция времени. Как найти длину участка кривой, проходимого точкой за определенное время, т. е. путь?

Положение точки на кривой однозначно определяется одной координатой — расстоянием s, отсчитываемым вдоль кривой от некоторой точки О. При движении точки величина s зависит от времени и функция 5 = s (t) полностью описывает движение. Функция S может быть как положительной, так и отрицательной (в отличие от пути).

т-1 «ds.

Производная этой функции — с точностью до знака есть модуль.

d t

вектора скорости (формула (1.11)). По предположению мы знаем функцию v = v (/), и наша задача — найти функцию s (t).

По определению, v = ds/dt, и нам надо найти такую функцию s (t), производная которой равна v (/). Такая функция называется первообразной функции v (t). Обозначение:

В математическом анализе рассматриваются способы нахождения таких функций для достаточно «хороших» функций v (t) (нахождение неопределенных интегралов). Если функция s (t) известна, то соответствующая разность координат As при движении точки вдоль кривой за время от /, до /₂ находится как.

Эта величина, конечно, не есть модуль вектора перемещения Дг, соединяющего начальную точку с конечной, равного.

Задача 1.15. Скорость точки меняется по закону v (/) = v₀ + а I. Найти положение точки через определенный промежуток времени.

Решение. Пишем: s (t) = j (v₀ + at)dt = vj + — + const (действительно, производная правой части дает выражение для скорости). Для As получим.

Внимание!Формула (1.20) определяет разность координат, а не пройденный путь! Эти величины совпадут, если s{t) — монотонная функция времени (скорость не меняет знака, нет возвратного движения).

Кажется, мы решили проблему, но это решение страдает существенным недостатком: не для всякой функции можно найти выражаемую аналитически (формулой) первообразную (взять интеграл). Кроме того, как быть с ситуацией, когда функция v (/) задана таблицей?

Рассмотрим другой подход. Разобьем интересующий нас временной промежуток At = l₂ — t_x на малые интервалы Д?, (пронумеруем интервалы, / — номер некоторого интервала). Начало /'-го интервала — момент времени t_r Пусть v, = v (t). Согласно формуле (1.11), величина перемещения точки за время At. будет As, = v₍A/₍, а за весь At разность координат представится суммой этих малых перемещений:

Ясно, что результат будет тем точнее, чем меньше будут выбранные интервалы времени. Предел суммы (1.21) при At, стремящемся к нулю, в анализе называется определенным интегралом. Таким образом, имеем:

Вычисление определенного интеграла в виде формулы сводится к нахождению первообразной. Если это невозможно, пользуются формулой (1.21) (именно так вычисляет интегралы компьютер). Обратите внимание на структуру выражений под знаком суммы и интеграла в формуле (1.22). Итак, проблема, поставленная в начале этого пункта, решена. Если автомобиль не останавливается и не поворачивает назад, тогда As — это искомый путь.

Возможен, однако, другой случай. Вы едете на автомобиле и фиксируете показания спидометра, проезжая мимо каждого километрового столба. Можно ли по этим данным определить пройденный путь? Можно, но описанный выше метод не годится.

Математически имеем следующую проблему. Известна скорость как функция положения, т. е. функция v = v (s). Нужно найти положение точки как функцию времени, т. е. функцию s = s (t).

Решение этой задачи таково. Пусть в точке с координатой 5 скорость v = v (5). Малый отрезок пути точка пройдет за время А! = As/v (s). Разбивая весь путь на малые отрезки и суммируя времена прохождения этих отрезков, найдем полное время прохождения всего пути:

Время t — это момент достижения конечной точки с координатой s. Но тем самым мы неявно определили 5 как функцию t Предел суммы в правой части (1.23) есть определенный интеграл.

Здесь интегрируется функция l/v (s). Если интеграл берется, мы найдем функцию t = l (s).

Задача 1.16. Точка движется вдоль некоторой кривой так, что.

v (s) = Oyjs'' — s², где со и s₀— константы. Найти положение точки как функцию времени.

г cLs 1 s

Решение. Пишем, согласно (1.24): t = —, = —arcsin —. От;

{ayjsl-s² i₀

сюда s (t) = J₀sinco/. Такое движение называется гармоническим колебанием.