Множества и числа

Возьмём отображение множеств.

Эквипотентными называются такие множества, которые имеют одинаковое количество элементов.

Например, такие множества эквипотентны:

У эквипотентных множеств есть общие признаки. Обычно говорят, что у них одинаковая мощность, или одно и то же кардинальное число. Кардинальные числа отличаются от порядковых чисел.

Кардинальное число показывает, сколько имеется чисел, а порядковое число отвечает на вопрос: какое оно по порядку. Следовательно, один, пять, десять… — кардинальные числа, а первый, пятый, десятый, … — порядковые числа.

Введём обозначения кардинальных чисел k (S); k (A); k (B) В приведённом примере отображения можно записать:

k (A) = k (B) = k© = 3.

k® = k (S) = 5.

Кардинальное число каждого одночленного множества равно единице. Кардинальное число каждого двучленного множества равно двум.

Кардинальное число каждого трехчленного множества равно трём. Кардинальное число каждого пустого множества равно нулю. Записывается так: к (?) = 0.

Каждому конечному множеству соответствует определённое натуральное число.

Связь между операциями над множествами и действиями с числами

Существует связь не только между множествами и натуральными числами, но и связь между операциями над множествами и действиями с числами: между объединением множеств и сложением, дополнением множеств и вычитанием, прямым произведением множеств и соответствующими действиями с числами. Если взять два любых конечных множества, А и В, то верно равенство:

k (А В) + k (А В) = k (А) + k (В) (1).

Покажем на конкретном примере: А= {1,2, 3,4, 5} и В = {4, 5, 6, 7}.

А В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, (AВ) = {4, 5}, а кардинальными числами являются к (А) = 5; к (В) = 4; к (А В) = 7; к (А В) = 2.

Подставим значения в равенство (1).

• 7+2=5+4
• 9 = 9

Рассмотрим случай, когда у множеств, А и В нет общих элементов, тогда A В = ?, отсюда следует k (A В) = 0, так что равенство (1) принимает вид:

k (A B) = k (A) + k (B). (2).

Вывод: Если, А и В являются двумя множествами без общих элементов, то тогда кардинальное число объединения множеств, А и В равно сумме кардинальных чисел множеств, А и В.

Например: А = {2,4, 6, 8} и В = {1, 3, 5, 7,9}.

Их объединение, А В ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а кардинальные числа являются к (А) = 4; к (В) = 5; к (А В) = 9;

Проверим к (А В) = к (А) + к (В), (2).

• 9 = 4 + 5
• 9 = 9.

Рассмотрим связь между разностью множеств и вычитанием чисел:

k (А В) = k (А) — k (А В). (3).

Например: А = {2, 3, 4, 5, 6, 7} и В = {6, 7, 8, 9}.

Найдём, А В = {2,3, 4, 5}, АВ = {6, 7}, кардинальнее числа.

k (А) = 6; k (В) = 4; к (АВ) = 4; к (А В) = 2.

4 = 6−2.

Кардинальное число разности множеств, А и В равно разности кардинальных чисел множества, А и пересечения множеств, А и В. (3)