Понятия и операции математической логики

Понятие логики высказывания

Прежде чем говорить о логике высказываний, иначе называемой пропозициональной логикой, следует раскрыть само понятие. Логика высказыванийраздел математической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения.

Логика высказываний (или пропозициональная логика от англ. propositional logic) — это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка. Логика высказываний является простейшей логикой, максимально близкой к человеческой логике неформальных рассуждений и известна ещё со времён античности.

Простые высказывания при этом выступают как целостные образования, внутренняя структура которых не рассматривается, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

Среди осмысленных предложений в русском языке можно выделить повествовательные предложения, как выражения, которые утверждают некоторый факт. Аналогом повествовательных предложений в логике высказываний является высказывание, иначе говоря — формула.

Высказывание (формула) — повествовательное предложение, о котором можно сказать в данный момент, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. Истинность или ложность предложения есть истинное значение высказывания.

Рассматривая конкретно, отметим, что каждое высказывание можно однозначно классифицировать — истинно оно или ложно. Если мы введем в рассмотрение множество, состоящее из двух элементов — русских слов «истина» и «ложь» (или английских «true» и false), которые записывают сокращенно И, Л (или соответственно Т, F), — то элементы этого множества {И, Л} часто называют истинностными значениями. Вместо И и Л мы будем использовать обозначения 1 и 0 соответственно, не придавая этим символам никакого арифметического смысла.

Приведем примеры высказываний.

• 1) Краснодар — столица Кубани.
• 2) Кубань впадает в Красное море.
• 3) Новгород стоит на Волхове.
• 4) Голубь не птица.
• 5) Число 6 делится на 2 и на 3.

Высказывания 1), 3) и 5) истинны, а высказывания 2) и 4) ложны.

Не всякое предложение можно счесть высказыванием. Так, к высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения, поскольку говорить об их истинности или ложности нет смысла.

Не являются высказываниями и такие предложения, которые высказывают мнение, например: «Краснодар — лучший город», «Щи — вкусное блюда»; т. е. нет и не может быть единого мнения о том, истинны эти предложения или ложны.

Предложение «Существуют инопланетные цивилизации» следует считать высказыванием, так как объективно оно либо истинное, либо ложное, хотя никто пока не знает, какое именно.

Предложения «Шел снег», «Площадь комнаты равна 20 м2», а2=4 не являются высказываниями; для того чтобы имело смысл говорить об их истинности или ложности, нужны дополнительные сведения: когда и где шел снег, о какой конкретной комнате идет речь, какое число обозначено буквой а. В последнем примере, а может не обозначать конкретного числа, а быть переменной, т. е. буквой, вместо которой можно подставлять элементы некоторого множества, называемые значениями переменной. Пусть например, {-2; 0; 2, 3, 4} - множество значений переменной а. Каждому значению переменной соответствует либо истинное, либо ложное высказывание; например, высказывания (-2)2=4, 22=4 истинны, а высказывания 02=4, 32=4, 42=4 ложны.

Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, называют высказывательной формой.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказывании могут служить высказывания 1) и 3). Элементарные высказывания обозначаются буквами латинского алфавита: A, B, C… X, Y, Z или a, b, c…x, y, z. Если высказывание, А истинно, то будем писать А=1; если ложно А=0.

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью логических связок «не», «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда…», «не…и не…», «не…или не…» принято называть сложными или составными. Так, высказывание 4) получается из простого высказывания «Курица — птица» с помощью отрицания «не». Высказывание 5) образовано из элементарных «число 8 делится на 2», «число 8 делится на 4», соединенных союзом «и». Аналогично сложные высказывания «Я пойду в школу или в кино» получается из простых высказываний «Я пойду в кино», «Я пойду в школу» с помощью грамматической связки «или».

Рассмотрим это же на другом примере. Возьмем более определенное (в смысле значения истинности) высказывание «Луна — спутник Земли» — простое и истинное. А вот «Солнце — спутник Земли» будет ложным высказывание (и простым). Усложняем задачу: «Луна — спутник Земли и Солнце — спутник Земли». На этот раз наше высказывание сложное, т.к. оно состоит из двух простых, и, что самое важное, это высказывание ложное, так уж устроена логическая (пропозициональная) связка «и» (конъюнкция). Если она обьединяет истинные высказывания — сложное высказывание будет истинным, а во всех остальных случаях — ложным. А сколько всего случаев? Каждое высказывание может быть истинным или ложным, если рассматривать два высказывания, то получим 4 комбинации: оба истинные, оба ложные, одно истинное, другое ложное, и наоборот.

Рассмотрим теперь высказывание «Луна — спутник Земли или Солнце — спутник Земли» — сложное и истинное. На этот раз связующим звеном выступает «или» (дизъюнкция), которая принимает ложное значение только когда все входящие высказывания — ложные, если хотя бы одно истинное, то все дизъюнктивное высказывание — истинное.

Но мы еще можем превратить высказывание «Луна — спутник Земли» в ложное, а «Солнце — спутник Земли» в истинное, если скажем «Неверно, что Луна — спутник Земли» и «Неверно, что Солнце — спутник Земли». Так действует на высказывания связка «не» (отрицание): истинные высказывания превращает в ложные, а ложные — в истинные. Теперь высказывание «Луна — спутник Земли и неверно, что Солнце — спутник Земли» — истинное, «Неверно, что Луна — спутник Земли или Солнце — спутник Земли» — ложное.

Еще одна интересная связка «если…, то…» (импликация). Рассмотрим высказывание «Если Луна — спутник Земли, то и Солнце — спутник Земли». Здравый смысл подсказывает, что это высказывание ложное, но истинным будет «Если Луна — спутник Земли, то неверно, что Солнце — спутник Земли». Высказывание же «Если Солнце — спутник Земли, то и Луна — спутник Земли» — истинное, несмотря на кажущуюся абсурдность. И высказывание «Если Солнце — спутник Земли, то все что угодно» — тоже истинное. В таких случаях актуальным становится высказывание «Если я — балерина, то Луна — зеленая» или что-нибудь подобное.