Факторные эксперименты с повторными наблюдениями

Пусть имеется функция отклика от к переменных и задан.

П

план с параметрами х_1; х₂, …, х_п; т₁, т₂, …, т_п;? m, = N, где.

i=i.

т,• = т — число наблюдений в точке планах, ((= 1, 2, …, п). Обозначим через (у_ь> (s = 1, 2, …, т) наблюдения в точке х,. Иначе говоря, наблюдения {у,} являются повторными кратности ш.

Матрица плана D = (х,") (i = 1, 2, …, к; и = 1, 2, …, N) может быть представлена в виде блочной матрицы.

гдеВ, =D₂ = … =D_m = D ЗдесьО'— матрица порядка n х к,

имеющая п различных строкxj (I = 1, п).

Полным (или дробным) факторным планом типа 2^к (или 2^м) с повторными наблюдениями кратности т назовем такой, если матрица D является матрицей полного (или дробного) факторного плана 2^к (или 2¹'^-4).

Поясним определение примером.

Пример 3.5.

Пусть ц = р₀ + (3,х, + р₂х₂ и задан план ЛГ = 8:

Очевидно, что матрица плана.

(-1 -О -* 1−1.

гдеВ, =D₂ = D , при этом D = ^ является матрицей пла;

I 1 1>

на ПФЭ 2². Следовательно, план представляет собой полный факторный план с повторными наблюдениями кратности 2. Матрица независимых переменных.

будет матрицей ортогонального планирования.

В общем случае легко убедиться, что при использовании полных или дробных факторных планов 2^к или 2^к~^ч свойства матриц независимых переменных сохраняются.

ЕслиХ = (х*) (_/ = 0,1,р; I = 1, 2,п) — матрица независимых переменных, соответствующая функции отклика и матрице плана D*, то из ортогональности планирования следует, что МНК-оценка вектора р равна.

где Y = (y_vy₂, -, у_пУ;у, = — ₅ (I = 1,2,…, п). Оценки р_о, р_г,.

^ms=l

Р_р некоррелированны, причем D{p_n} = o²/N.

Возвращаясь к исходному примеру, имеем.

откуда.

Пример 3.6.

Исследовать процесс нагрева агрегата в зависимости от времени непрерывной работы. Указать линейную модель, проверить ее адекватность и оценить значимость коэффициентов регрессии. Цель исследования — определить зависимость износа деталей от скорости и конечной температуры нагрева. Температура изменяется от 250 до 450 °C, скорость нагрева — от 2 до 10 К/мин.

Кодируем факторы, сводя результаты в табл. 3.14 (i = 1, 2).

Таблица 3.14. Результаты наблюдений.

Составление план-матрицы эксперимента (табл. 3.15) осуществляется следующим образом. В примере варьируется только два фактора х, и х₂, причем каждый на уровнях +1 и -1.

Таблица 3.15. Кодированные факторы.

В первом опыте оба фактора находятся на нижнем уровне, во втором опыте фактор Х[ — на верхнем, а фактор х₂— на нижнем уровне и т. д. Реализация плана эксперимента представлена в табл. 3.16. Приведенный план эксперимента представляет собой расширенную матрицу, так как введен столбец (х, х₂), позволяющий оценить коэффициент регрессии при взаимодействии факторов, гдеу_П1 иу"₂— износ деталей, измеренный в процессе параллельных экспериментов.

Таблица 3.16. План параллельных экспериментов.

Проверка воспроизводимости параллельных опытов при одинаковом их числе на каждом сочетании уровней факторов осуществляется по критерию Кохрена:

ГП.

S (у"ру,)²

где = ——дисперсия, характеризующая рассеяние.

тЛ

результатов опытов на u-м сочетании уровней факторов; р = 1, 2, т — число параллельных опытов; S, f_M;m6 — наибольшая из дисперсий в строчках плана; G (0,05,/",/") —табличное значение критерия Кохрена при 5%-ном уровне значимости;/, — число независимых оценок дисперсии;/, = т -1 — число степеней свободы каждой оценки.

Процесс считается воспроизводимым, если выполняются соответствующие условия критерия Кохрена. При этом дисперсия воспроизводимости (ошибка опыта) определяется по формуле.

В противном случае необходимо уточнить измерения в опыте с максимальной дисперсией. При воспроизводимости процесса рассчитывают коэффициенты регрессии.

и строят линейную модель эксперимента. Адекватность имеет место, если выполняется неравенство.

Ё (у"-у_и)²

где S²., = ——-——; у" — расчетное значение отклика в и-м ^а п-к-1 опыте.

Значение оценок дисперсии в каждой точке плана рассчитываем по формуле S² = Д²/2, где Д — разность между значениями функции цели в параллельных опытах, Д = у_а -у" . Имеем: S,² = = (27,0 — 28,0)²/2 = 0,50, S₂² = (15,9 — 17,7)²/2 = 0,72, S₃² = 0,32, S² = 0,02.

Выясним, воспроизводим ли данный процесс. Для этого найдем значение критерия Кохрена:

Сравнивая найденное значение с табличным С (0,05, 4, 1) = = 0,9065, заключаем, что рассматриваемый процесс воспроизводим. Дисперсия воспроизводимости (ошибка опыта).

Построим линейную модель эксперимента, вычислив коэффициенты регрессии.

т т.

в соответствии с зависимостями р, = 2,x_iuy_u/n, рT, x_iux_juy_u/n.

U=1 U=1.

Таким образом, модель имеет виду = 20 — 5Х[ - 2х₂.

Чтобы проверить адекватность построенной модели условиям эксперимента, воспользуемся критерием Фишера F (0,05, /_ад, /") при 5%-м уровне значимости,/_ад = п — к -1 — число степеней свободы дисперсии адекватности,/, — число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.

Найдем.

Учитывая, что критерий Фишера F (0,05,1, 4) = 7,7086 (см. приложение [25]) и 2,564 < 7,7086, делаем заключение об адекватности рассматриваемой модели. Оценка значимости коэффициента регрессии производится с помощью критерия Стьюдента. Коэффициент считается значимым, если выполняется неравенство.

где f (0,05, Jp — критерий Стьюдента. Так как.

где f (0,05,)p = 2,7764, то |р,| > др, i = 0,1, 2, и коэффициенты регрессии р₀, р_1; р₂ — значимы.