Вычисление нормальных и главных касательных напряжений

Вычислить главные нормальные и главные касательные напряжения. Убедиться в правильности расчетов, вычислив инварианты тензора напряжений через главные нормальные напряжения.

Напряжения, действующие на три взаимно перпендикулярные главные площадки, перпендикулярные главным осям тензора напряжений, называют главными нормальными напряжениями.

Главные нормальные напряжения найдем, решив кубическое уравнение:

(15).

Кубическое уравнение решим методом тригонометрических подстановок. Вначале приведем его к каноническому виду, когда коэффициент при квадрате неизвестного равен нулю. С этой целью заменим:

л=t+I1/3, (16).

где t — новая переменная.

Получим:

(17).

Раскроем скобки и сформируем коэффициенты при t3(он равен единице), при t (обозначим его 3р), а так же свободный член (обозначим его 2q). Итак, получим кубическое уравнение:

(18).

p=-30,1111.

q=-42,4630.

Вычислим Знак r должен совпадать со знаком q.

r=165,2305.

Вычислим далее вспомогательную величину:

cosц=q/r3. (19).

ц=1,3109.

Тогда корни кубического уравнения равны:

(20).

Так как — минимальный, а — максимальный корни кубического уравнения.

Главные касательные напряжения равны полуразностям главных нормальных напряжений, и действуют на площадках, параллельных главным осям и равнонаклоненых к ним:

(21).

где — максимальное главное касательное напряжение.

Инварианты тензора напряжений через главные нормальные напряжения вычислим по формулам:

(22).

Эти инварианты совпадают с инвариантами, найденными в задаче № 3 по формулам (3)-(5), главные нормальные напряжения вычислены правильно.