Параметры импеданса биологической ткани. 
Частотные зависимости импеданса биологических тканей

Для описания импедансных свойств различных материалов используют удельные параметры, не зависящие от размеров и форм объектов. Удельное сопротивление с, измеряемое в Ом*м, характеризует проводящие свойства вещества. На постоянном токе сопротивление цилиндра длины L и площадью сечения S определяется равенством.

R = с*L/S. (4).

Обратная величина.

у =1/с (5).

называется удельной проводимостью и измеряется в Ом^-1 * м^-1 или См/м.

Удельным параметром, характеризующим емкостные свойства вещества, является диэлектрическая проницаемость е ,измеряемая в Ф/м.

Для характеристики одновременно и проводящих, и емкостных свойств вещества вводят комплексные удельное сопротивление и удельную проводимость, определяя их сл. Формулами:

с=см-jс? (6).

у=ум-jу? (7).

Используют также комплексную диэлектрическую проницаемость:

е=ем-jе? (8).

Удельные сопротивления, проводимости и диэлектрические проницаемости биологических тканей существенно зависят от частоты переменного тока. На рис. 2.2 показан типичный график относительной диэлектрической проницаемости е тканей мышц как функции частоты f. Частотные характеристики импеданса биологических тканей отличаются от характеристик простой модели на рис. 2. как показали исследования, проводившиеся ещё в 1920;1930;е годы, в модель надо ввести особый элемент, который создаёт фазовый сдвиг, не зависящий от частоты (Constant Phase Element CPE). Годограф цепи, содержащей СЗУ, является дугой окружности, центр которой смещён относительно горизонтальной оси координат (Cole, 1932). Такой вид годограф вполне соответствует экспериментальным данным.

В 1940 г. К. Коул предложил уравнения, описывающие частотные свойства импеданса биологических тканей (Cole, 1940). Эти уравнения соответствуют двум эквивалентным схемам. Первая из них показана на рис. 3. Сопротивление объекта на бесконечно большой частоте R_? соответствует параллельному соединению R_e и R_i на рис .2, а.

?R=R₀— R_? ,.

где R₀— сопротивление объекта на нулевой частоте (соответствует R_e). Уравнение Коула имеет вид:

(9).

где б— безразмерный параметр, T_Z — постоянная времени, определяющая характеристическую частоту цепи.

fc=½рT_Z

постоянный фазовый сдвиг СРЕ равен бр/2. Импеданс СРЕ описывается соотношением.

(10).

На рис. 4,в показан другой вариант эквивалентной схемы. Здесь.

G₀=1/R₀

• — проводимость объекта на нулевой частоте,
• ?G=G_?-G₀=1/R_?-1/R₀.

Уравнение Коула записывается для комплексной проводимости:

(11)

Импеданс в этом случае имеет вид:

(12)

Похожее по форме уравнение, известное как уравнение Коула-Коула, существует и для комплексной диэлектрической проницаемости (Cole, Cole, 1994):

(13)

Здесь е_? — диэлектрическая проницаемость на бесконечно большой частоте,

• ?е=е_?-е_s
• — диэлектрическая проницаемость на нулевой частоте.

Рис 3. Эквивалентные схемы модели Коула (а, в) и их годографы (б, г) при некоторых значениях сопротивлений.

Наличие СРЕ в эквивалентной схеме биологической ткани обусловлено рядом физических эффектов. Такими свойствами обладает двойной электрический слой, возникающий у поверхностей раздела проводящих сред с разными проводящими свойствами, в частности, у клеточных мембран. Значение параметра б связано с шириной распределения постоянных времени в системе, состоящей из большого числа частотно-зависимых компонентов (Grimnes, Martinsen, 2008). Это подтверждается, в частности, компьютерным анализом трёхмерных моделей клеток. Распределение постоянных времени релаксации при этом объясняется разбросом ориентации молекул^[2].

Важной характеристикой электрической проводимости тканей является отношение их ёмкостного и активного сопротивлений (рис. 4):

tgц=X_c/R (13).

Рис. 4. Фазовый угол Величина ц в этом уравнении имеет название фазового угла, который характеризует сдвиг фазы переменного тока относительно напряжения. Полуокружность на рис. 4 (график Коула — Коула) описывает теоретическую зависимость между активным и реактивным сопротивлением тканей при изменении частоты тока f от 0 до +? (Шван, Фостер, 1980)^[1]. Верхняя точка полуокружности соответствует максимальному значению реактивного сопротивления тканей и характеристической частоте тока. типичные значения Хс и R при измерении импеданса всего тела составляют 20−80 Ом и 200−800 Ом соответственно. Значения ц при частоте тока 50 кГц составляют в норме 7,6±1,0° у мужчин и 6,0±1,3° у женщин (пределы измерения от 3 до 10°) (Liedtke, 1997). При увеличении частоты тока эта величина варьирует в более широких пределах. Понижение значения Х_С связывают с нарушением диэлектрических свойств клеточных мембран и увеличении доли разрушенных клеток в организме. Наоборот, повышенные значения ёмкостного сопротивления отражают более высокое значение ёмкостного сопротивления отражают более высокое функциональное состояние клеточных мембран и, следовательно, самих клеток. На основании этого полагают, что чем больше величина ц, тем лучше состояние организма. Повышенные значения Х_С отражают более высокое содержание активной клеточной массы и трактуются в спортивной медицине как свидетельство тренированности.