Обыкновенные дифференциальные уравнения. 
Основные определения и понятия

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные или дифференциалы.

Если неизвестными функциями являются функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных.

Если же входящая в дифференциальное уравнение функция является функцией только одного переменного, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Порядок старшей производной или старшего дифференциала искомой функции в уравнении называется порядком уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение вида.

F (x, y, y')=0 (1.1).

где x — независимая переменная, y=y (x) — неизвестная функция аргумента; F (x, y, y') — заданная функция переменных, х, y, y'= на некотором множестве. Иногда уравнение удается привести к виду.

y'=f (x, y), (1.2).

которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной;f (x;y) — заданная функция.

Решением дифференциального уравнения вида: (1.1) или (1.2) называется такая функция y=(x) (или в неявном виде Ф (x, y)=0), определенная на некотором интервале х₁хх₂конечном или бесконечном, что при подстановке ее вместоyв соотношение (1.1) или (1.2), мы получаем тождество на всем интервале х₁хх₂. Интервал (х₁;х₂)называется интервалом определения решения.

Решение Ф (x, y, C)=0 В неявном виде называется общим интегралом уравнения или общим решением. В ряде случаев общее решение удается записать в виде функцииy= (x, C). Общее решение, так же как и общий интеграл уравнения, зависит от одной произвольной постояннойC, при определенных значениях которой мы получаем частные решения уравнения. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения. График решения уравненияy=(x) называется интегральной кривой дифференциального уравнения.

Изоклиной называется кривая, во всех точках которой направление поля одинаково. Все интегральные кривые, пересекающие данную изоклину, в точках пересечения наклонены к оси абсцисс под одним и тем же углом.

Если дифференциальное уравнение задано в форме (1.1), не разрешенной относительно производной неизвестной функции, то возникает вопрос о возможности разрешения его относительно y'.