Параметры. 
Задачи с параметрами

Общее представление о задачах с параметрами.

Параметр — это независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Решить задачу с параметром — это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.

Уравнение вида называется уравнением, содержащим параметры, где a, b, c, …, kпараметры, x — неизвестное. [1].

Наличие неизвестных переменных, сложных функций и параметров в формулировке задания может «напугать» учащихся, привести их в замешательство, они начинают опасаться, что от них требуется найти все решения х при всех значениях а. В большинстве задач найти все множество решений невозможно, нас об этом не просят и пытаться это сделать вовсе не нужно. Поэтому при решении заданий с параметраминеобходимо четко определить, что, собственно, нужно найти. С целью облегчения понимания структуры заданий с параметрами и предотвращения «паники» учащихся, выделим 4 типа формулировки заданий с параметрами.

Тип I. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

Тип II. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип III. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений.

Тип IV. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

Теперь выделим различные виды уравнений с параметрами и рассмотрим их подробное решений.

Основные основные виды уравнений с параметрами:

Линейные уравнения.

Квадратные уравнения.

Показательные уравнения.

Тригонометрические уравнения.

Логарифмические уравнения.

Системы уравнений.

Данные виды уравнений при включении параметров, переменных и неупрощенных выражений порождают бесконечное множество задач с параметрами. Нередко встречаются задания, которые требуют умения комбинировать несколько методов решений.

Итак, приступим к более подробному разбору каждого вида уравнений. Рассмотрим примеры с развернутыми решениями.

Линейные уравнения.

Линейное уравнение с параметром имеет вид f (a)x = g (a). Чтобы решить уравнение при всех a, нужно рассмотреть два случая, когда f (a) = 0, и когда f (a) 0. Рассмотрим конкретный пример.

Пример № 1. Тип I. Решите уравнение (a + 2) x = a?2 при всех возможных a.

Решение.

1) Пусть (a + 2) 0, т. е. a?2, тогда x =.

2) Пусть (a + 2) = 0, т. е. a = ?2, тогда исходное уравнение перепишется: 0· x = ?4? 0 = ?4? x ??.

Ответ: При a = ?2 x ??; при a ?2x =.

Пример № 2.Тип III. Найдите а, при которых корнем уравнения.

ax + 3a + 2(x?1) = 3x + a2 является любое число.

Решение. Преобразуем исходное уравнение:

ax + 3a + 2x?2 = 3x + a2?

• (a?1)x = a2 ?3a + 2 ?
• (a?1)x = (a?1)(a?2).

Если (a?1) 0, т. е. a 1, тогда x = = a?2.

Решением уравнения является единственное число a?2.

2) Если (a?1) = 0, т. е. a = 1, тогда исходное уравнение перепишется: 0· x = 0? x? R. Решением уравнения является любое число.

Ответ: a = 1.

Пример № 3.Тип I. Решите уравнение (а-1)(2а+4)х=3а+6 при всех возможных, а При а=1 получаем 0 = 9, нет решений.

При а= -2 получаем 0 = 0 то есть х= (-?; +?).

При, а 1 и, а — 2 получаем х =.

Ответ: при, а = 1 x ??; при, а = - 2 х ?(-?;+?);

при, а 1 и, а — 2 х = .

Рассмотрим линейные уравнение с модулем и решим его графическим методом.

Пример № 4.Тип III. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение, имеет ровно 1 корень.

Решение.

.

Построим графики функций, , .

При прямая пересекает график только в одной точке.

Значит, данное уравнение имеет ровно один корень при .

Ответ: 7.

Квадратные уравнения Рассмотрим общий вид квадратных уравнений с параметром:

A (a)x2 + B (a)x + C (a) = 0.

Заметим, что при решении таких уравнених случай, когда старший коэффициент A (a) = 0, необходимо рассмотреть отдельно, потому что уравнение из квадратного превращается в линейное. Во всех остальных случаях, а именно когда A (a) 0, нужно найти дискриминант уравнения или же воспользоваться теоремой Виета.

Пример № 5.Тип IV. Найдите значение a, при котором уравнение.

y = 4ax2 ?8x + 17 имеет две общие точки с осью Ox.

Решение. Данный квадратный трехчлен будет иметь два различных действительных корня, если выполнятся следующие два условия, записанные в виде системы:.

Решение системы — искомый промежуток a? (??;0)?(0;).

Ответ: a? (??;0)? (0 ;).

Пример № 6.Тип IV. При каком значении параметра, а сумма действительных корней уравнения x2 + 2(a2 ?5a)x?13 = 0 примет наибольшее значение?

Решение. Вычислим дискриминант уравнения. D = 4(a2 ?5a)2 + 169.

D> 0 при любом a. Это означает, что квадратное уравнение при любом значении параметра a имеет действительные корни. Так так в данном уравнении старший коэффициент, А = 1, воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней уравнения x1 + x2 = ?2(a2? 5a) = ?2a2 + 10a. Функция y = ?2a2 + 10a на графике задает ветвями направленную вниз параболу. Как нам известно, наибольшее значение функции достигается в вершине параболы.

a0 = = 2. Итак, сумма корней уравнения принимает наибольшее значение при a = 2.

Ответ: a = 2.

Пример № 7.Тип III. Найти все значения параметра а, при которых квадратное уравнение a (a + 1) x2 + (2a + 6) x?3a?4 = 0 имеет более одного корня.

Решение. В первую очередь рассмотрим случаи, когда исходное уравнение не является квадратным, т. е. старший коэффициент перед x2 равен нулю:

a (a + 1) = 0, тогда a = 0 или a = ?1.

При a=0 исходное уравнение перепишется: 6x = 4? x =. Это единственный корень. Данное значение, а = 0 нам не подходит.

При a = ?1 исходное уравнение перепишется: 0· x2 + 4· x + 3 — 4 = 0.

X=, это единственное решение и поэтому a = ?1 не нам подходит.

3) При a 0 и a ?1 коэффициент перед x2отличен от нуля, следовательно, исходное уравнение является квадратным и будет иметьдва корня при D > 0 ?

= 4a2 + 10a + 9> 0.

Дискриминант уравнения 4a2 + 10a + 9 = 0 отрицателен, следовательно,.

4a2 + 10a + 9 > 0 при любых а.

Ответ: a ?

Пример № 8.Тип III. Найти значения параметра a, для которых все корни уравнения ax2 ?2(a + 1) x + a?3 = 0 отрицательны. 2].

Решение. 1) При a = 0 уравнение имеет один корень x = -1,5, который удовлетворяет условию задачи.

Рассмотрим случай a 0. Если уравнение имеет два отрицательных корня, то их произведение будет положительным, а сумма — отрицательной. Таким образом, чтобы оба корня уравнения были отрицательны, необходимо и достаточно одновременное выполнение трех условий. Подставляя значения D/4 = (a + 1)2 ?a (a?3) = 5a + 1, x1· x2=, x1+ x2 =, решаем эту систему и находим, что a? [;0). Ответ задачи объединяет два случая.

Ответ: a ?[; 0].