Динамическая модель финансирования контртерроризма (на основе матричных игр)

В данной дипломной работе была рассмотрена динамическая модель финансирования контртерроризма со стороны США и Германии (рисунок 13). Эта модель необходима для отображения затрат на военные действия этих стран и прогноз ситуации в будущем (для оптимизации расходов на кампанию). Рассматривается конфликт в Афганистане в период с 2002 по 2009 гг. Модель создана на основе реальной статистики в виде биматричной игры, наглядно иллюстрирующей расходы на кампанию в Афганистане. Динамическая программная реализация всех игр позволяет увидеть изменение стратегий в зависимости от параметров игры и дает возможность сделать прогноз.

В этой игре представлены две стороны — войска Германии и США. Каждый из них делает один ход — выбирает одну стратегию из имеющегося у него конечного числа стратегий, и после этого он получает свой выигрыш согласно определённым для каждого из них матрицам выигрышей. Но так как речь идет о финансировании борьбы с террористами, то будем использовать вместо понятия «выигрыш» понятие «затраты» или «расходы».

Конечная игра двух игроков полностью определяется двумя матрицами выигрышей для двух игроков, поэтому такие игры называются биматричными.

Рисунок 13. «Динамическая модель финансирования контртерроризма».

Для построения матрицы расходов для войск коалиции (Германии и США) использованы следующие параметры:

• — количество солдат США в Афганистане;
• — количество солдат Ирака (полиция и вооруженные силы Афганистана);
• — количество солдат Германии в Афганистане;
• — количество солдат США, предназначенных для вывода из Афганистана;
• — количество солдат Германии, предназначенных для вывода из Афганистана;
• — сумма денег на содержание одного солдата США;
• — сумма денег на содержание одного солдата Афганистана;
• — сумма денег на содержание одного солдата Германии;
• — сумма денег для вывода одного солдат США из Афганистана (сумма денег для ввода одного солдат США в Афганистан);
• — сумма денег для вывода одного солдат Германии из Афганистана (сумма денег для ввода одного солдат Германии в Афганистан);

Исходя из этих параметров, составлены матрицы расходов (платежные матрицы). Вычисления матриц приведены на рисунке 14 и на рисунке 15.

Рисунок 14. Платежные матрицы для случая вывода войск из Афганистана.

Рисунок 15. Платежные матрицы для случая ввода войск в Афганистан.

Перейдем к решению игры.

Пусть множество чистых стратегий X игрока США содержит m=2 стратегий: x1 — оставить войска в Афганистане, x2 — вывести часть войск из Афганистана (ввести дополнительные войска). X = {x1, x2}.

У второго игрока — Германии, множество чистых стратегий Y содержит n=2 стратегий: y1 — оставить войска в Ираке, y2 — вывести часть войск из Ирака (ввести дополнительные войска). Y = {y1, y2}.

В таблице 1 показаны числовые данные, которые используются для построения матрицы расходов для войск США.

Таблица 1.

Числовые данные для пунктов № 1−4 взяты из статистики для войны в Афганистане, для пунктов № 6−7 взяты приблизительные данные. Введем данные в программу. Получим матрицу расходов для США в случае вывода войск из Афганистана, показанную на рисунке 16 (на рисунке 17 — в случае ввода войск в Афганистан).

Рисунок 16. Матрица расходов для США в случае вывода войск.

Рисунок 17. Матрица расходов для США в случае ввода войск.

Теперь построим матрицу расходов для игрока Германия. Для этого используем данные из таблицы 2.

Таблица 2.

Для пунктов № 1−3 взята статистика для войны в Афганистане, для пунктов № 5−7 взяты приблизительные данные. Введем числовые данные в программу. Получим матрицу расходов для Германии в случае вывода войск из Афганистана, показанную на рисунке 18 (на рисунке 19 — в случае ввода войск в Афганистан).

Рисунок 16. Матрица расходов для Германии в случае вывода войск.

Рисунок 17. Матрица расходов для Германии в случае ввода войск.

Получим 2 платежные матрицы:

и.

Решим биматричную игру. Эти 2 матрицы можно представить в виде функций выигрыша H1 и H2, где H1= H1(xi, yj)=aij, H2= H2(xi, yj)=bij.

Смешанную стратегию игрока США будем записывать в следующем виде: S1=(p; 1-p).

Смешанная стратегия Германии: S2=(q; 1-q).

А средние выигрыши вычисляются по формулам (3) и (4):

H1(p, q).

(3).

H2(p, q)=.

.(4).

Определение. Ситуация (p*, q*) называется ситуацией равновесия в смешанных стратегиях биматричной игры, если для любых p и q выполняется система неравенств:

(5).

Для 2×2 биматричной игры система неравенств (5) равносильна системе (6):

(6).

Запишем в более удобной форме средние выигрыши игроков:

(7).

(8).

Полагая в формуле (7), p=1, а потом p=0, получаем, что:

.

Рассмотрим разности:

Вводя обозначения:

.

получим для них следующие выражения:

.

.

В случае если пара (p, q) определяет точку равновесия, эти разности должны быть неотрицательными:

.

Поэтому окончательно получаем:

.

.

Из формулы (8) для функции при q=1 и q=0 имеем соответственно:

.

.

С учетом обозначений:

.

.

разности приводятся к виду:

.

Если пара (p, q) определяет точку равновесия, то эти разности должны быть неотрицательными:

.

.

Поэтому:

.

.

Итак, для того чтобы в биматричной игре, как в нашем случае, пара (p, q) определяла равновесную ситуацию, необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:

(9),.

Где:

.

Таким образом, используя данные матрицы расходов (рассмотрим случай ввода дополнительных войск в Афганистан), вычислим C, D, б, в. Заменяя в неравенстве (7) величины C, D, б, в их конкретными значениями получаем:

Обратимся к первым двум неравенствам системы (9):

Возможны следующие 3 случая:

• 1) p=1;
• 2) p=0;
• 3) 0
• 1) Полагая p=1, получаем q>=0.77 380 955
• 2) Полагая p=0, получаем q<=0.77 380 955
• 3) Положив, 0

Теперь обратимся к последним двум неравенствам системы (9):

Возможны следующие 3 случая:

• 1) q=1;
• 2) q=0;
• 3) 0
• 1) Полагая q=1, получаем p>=0.7 368 421
• 2) Полагая q=0, получаем p<=0.7 368 421
• 3) Положив, 0

Смешанные стратегии для игроков имеют вид: p*=(0.77 380 955; 0.22 619 045), q*=(0.7 368 421;0.2 631 579), т. е. с вероятностью 0.77 380 955 США выбирает стратегию — оставить войска в Афганистане, а с вероятностью 0.22 619 045 США выбирает стратегию — ввести дополнительные войска.

Немцы выбирают стратегию — оставить войска в Афганистане, с вероятностью 0.7 368 421 и немцы выбирают стратегию — ввести дополнительные войска, с вероятностью 0.2 631 579.

Средний выигрыш для игрока США, если США решает оставить войска в Афганистане и Германия выбирает стратегию оставить войска, рассчитывается по формуле (3):

H1 = (0.77 380 955; 0.7 368 421) = -299 255.96

Средний выигрыш для Германии, если США решает оставить войска в Афганистане и Германия выбирают стратегию оставить войска, рассчитывается по формуле (4):

H2 = (0.77 380 955; 0.7 368 421) = -27 882.37

Средний выигрыш для игрока США, если США решает ввести дополнительные войска в Афганистан и Германия выбирают стратегию оставить войска, рассчитывается по формуле (3):

H1 = (0.22 619 045; 0.7 368 421) = -303 507.2

Средний выигрыш для Германии, если США решает ввести дополнительные войска в Афганистан и немцы выбирают стратегию оставить войска, рассчитывается по формуле (4):

H2 = (0.22 619 045; 0.7 368 421) = -27 882.37

Средний выигрыш для игрока США, если США решает оставить войска в Афганистане и немцы выбирают стратегию ввести дополнительные войска, рассчитывается по формуле (3):

H1 = (0.77 380 955; 0.2 631 579) = -299 255.96

Средний выигрыш для Германии, если США решает оставить войска в Афганистане и немцы выбирают стратегию ввести дополнительные войска, рассчитывается по формуле (4):

H2 = (0.77 380 955; 0.2 631 579) = -28 030.31

Средний выигрыш для игрока США, если США решает ввести войска в Афганистан и немцы выбирают стратегию ввести дополнительные войска, рассчитывается по формуле (3):

H1 = (0.22 619 045; 0.2 631 579) = -357 980.88

Средний выигрыш для Германии, если США решает ввести войска в Афганистан и немцы выбирают стратегию ввести дополнительные войска, рассчитывается по формуле (4):

H2 = (0.22 619 045; 0.2 631 579) = -24 949.95

Таким образом, вероятнее всего при p=0.77 380 955 США выберет стратегию x1 — оставить войска, причем, в этом случае Германии желательно выбрать стратегию y1 — оставить войска в Афганистане, при q=0.7 368 421.