Основные положения метода конечных элементов

• 1. Собственная размерность. Конечные элементы могут описываться одной, двумя или тремя пространственными координатами в зависимости от размерности задачи, для решения которой они предназначены. Соответствующее число внутренних или локальных координат называется собственной размерностью элемента. В динамическом анализе время рассматривается как дополнительная размерность. Отметим, что в расчетах используются также специальные элементы с нулевой размерностью, такие как, точечные массы или сосредоточенные упругие элементы (пружины).
• 2. Узловые точки. Каждый элемент описывается множеством характерных точек, называемых узловыми точками или узлами для краткости. Узлы предназначены для описания геометрии элемента и для задания физических степеней свободы (числа неизвестных функций). Узлы обычно находятся в угловых или крайних точках элемента, но могут быть также расположены между угловыми узлами и внутри элемента. Данное различие связано с порядком аппроксимации, который обеспечивает данный конечный элемент. Элементы, имеющие только угловые узлы, называются линейными и обеспечивают линейную интерполяцию геометрии и функций. Элементы, имеющие дополнительные узлы на своих границах между угловыми точками, могут обеспечивать квадратичную или даже кубичную интерполяцию. В первом случае такие элементы называются квадратичными. Отметим также, что существуют элементы, имеющие внутренние узлы. Теоретически такие элементы обеспечивают более точное описание геометрии тела и искомых функций, однако широкого распространения данный тип элементов не получил. При наличии современных автоматических генераторов конечно-элементных сеток часто бывает проще и удобнее разбить конструкцию на большое число линейных элементов простой формы, чем использовать элементы высокого порядка, требующие для построения сетки значительной работы вручную. Элементы, не имеющие внутренних узлов, относятся к так называемому серендипову семейству.
• 3. Геометрия элемента. Геометрия элемента определяется расположением узловых точек. Большинство элементов, используемых в расчетах, имеют достаточно простую геометрическую форму. Например, в одномерном случае элементы обычно представляют собой прямолинейные отрезки или сегменты кривых линий; в двумерном случае элементы имеют трехстороннюю или четырехстороннюю форму; в трехмерных задачах наиболее распространены такие геометрические фигуры, как тетраэдры, призмы и гексаэдры.
• 4. Степени свободы. Степени свободы определяют физическое состояние элемента, т. е. физическое поле, которое описывает данный элемент. Благодаря общим степеням свободы в соседних элементах осуществляется сборка модели и формирование глобальной системы конечно-элементных уравнений. В качестве степеней свободы могут фигурировать как узловые значения неизвестной функции, так и ее производные по пространственным координатам в узлах. В первом случае элементы относятся к типу лагранжевых элементов; во втором случае — типу эрмитовых элементов. Например, в простейшей задаче о растяжении стержня неизвестной функцией является продольное перемещение стержня. Соответственно в качестве степеней свободы выступают узловые значения данной функции и, следовательно, конечный элемент относится к лагранжевому типу. Наоборот, в задаче об изгибе стержня неизвестной функцией является поперечное перемещение центральной оси стержня, а в качестве степеней свободы используются как узловые значения самой функции, так и ее производной по продольной координате. Физический смысл этой производной — угол поворота поперечного сечения стержня. Таким образом, конечный элемент, применяемый в расчетах стержня на изгиб, относится к типу эрмитовых элементов. Заметим также, что данные обозначения происходят от названия полиномов Лагранжа и Эрмита, широко используемых в прикладной математике для интерполяции функций по узловым значениям.
• 5. Узловые силы. Система узловых сил полностью соответствует степеням свободы элемента и выражается с помощью глобального вектора узловых сил.
• 6. Определяющие соотношения. Для конечных элементов, используемых в механических расчетах, определяющее соотношение задает поведение материала, из которого изготовлена конструкция. Например, в качестве такого соотношения во многих случаях используется обобщенный закон Гука, связывающий тензор деформаций и тензор напряжений в точке. Для линейного упругого стержневого элемента достаточно задать один модуль Юнга Е и один коэффициент температурного расширения.
• 7. Свойства сечения. К свойствам сечения относятся площади и моменты инерции одномерных и двумерных конечных элементов, таких как балки, стержни, пластины. В эту группу также входит толщина пластин и оболочек. При построении конечного элемента свойства сечений считаются заданными и входят в результирующую матрицу жесткости элемента.

Применение метода конечных элементов в расчете конструкций Посмотрим вначале, как метод конечных элементов соотносится с другими методами инженерного анализа, которые могут быть разделены на две категории классических и численных методов.

С помощью классических методов задачи распределения полей решаются напрямую, используя системы дифференциальных уравнений построенные на основании фундаментальных физических принципов. Точное решение возможно только для простейших случаев геометрии, нагрузок и граничных условий.

Приближенными методами может быть решен более широкий круг классических задач. Результаты в этом случае имеют форму рядов, в которых после исследования сходимости отбрасываются младшие члены.

Приближенные методы также требуют регулярной геометрической формы, простых граничных условий и удобного приложения нагрузок.

Принципиальное преимущество классических методов состоит в том, что они обеспечивают глубокое понимание исследуемой проблемы.

Энергетические методы отыскивают минимум выражения для полной потенциальной энергии конструкции на всей заданной области. Этот подход хорошо работает только для определенных задач.

В методе граничных элементов размерность задачи понижается за счет того, что элементы представляют только границы моделируемой области. Однако применение этого метода требует знания фундаментального решения системы уравнений, которое бывает трудно получить.

Метод конечных разностей преобразует систему дифференциальных уравнений и граничных условий в соответствующую систему алгебраических уравнений. Этот метод позволяет решать довольно нерегулярные задачи со сложной геометрией, граничными условиями и нагрузками. Однако метод конечных разностей часто оказывается слишком медленным из-за того, что требование регулярной сетки на всей исследуемой области приводит к системам уравнений очень больших порядков.

Метод конечных элементов может быть обобщен практически на неограниченный класс задач благодаря тому, что позволяет использовать элементы различных форм для получения сеточных разбиений любых нерегулярных областей. Размеры конечных элементов в разбиении могут различаться в десятки раз. Нагрузки и граничные условия могут иметь произвольный вид. Основной проблемой становится увеличение издержек на понимание результата. За общность решения приходится платить потерей интуиции, поскольку конечно элементное решение — это по существу куча чисел, которые применимы только к конкретной задаче. Изменение любого существенного аспекта в модели обычно требует повторного решения задачи. Однако это несущественная цена, поскольку метод конечных элементов часто является единственно возможным способом решения. Метод применим ко всем классам проблем распределения полей, которые включают в себя анализ конструкций, перенос тепла, течение жидкости и электромагнетизм.

Краткие основы и алгоритмы метода конечных элементов Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений. В этом качестве он является и методом построения математической модели и методом её исследования.

Основная идея метода состоит в том, что непрерывная величина на рассматриваемой области аппроксимируется множеством кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей.

Непрерывная величина может быть скалярной функцией координат, например, температурой, или векторной функцией, например перемещением точек деформируемого тела.

Рассмотрим упругое тело, находящееся в равновесии под действием внешних нагрузок. Пусть v — произвольное поле возможных перемещений, удовлетворяющее граничным условиям. Полная потенциальная энергия системы запишется так:

Р (v) =U (v) ?W (v) (1.1).

где U — потенциальная энергия деформации, W — потенциал внешних нагрузок.

Из принципа возможных работ следует, что в состоянии равновесия полная потенциальная энергия системы минимальна. Следовательно, для нахождения решения выражение (1.1) нужно минимизировать на множестве всех функций v, удовлетворяющих граничным условиям, и та функция, которая доставляет минимум, будет искомым полем перемещений w.

Точное нахождение минимума Р (v) эквивалентно решению дифференциального уравнения теории упругости и является бесконечномерной задачей. Идея сеточных методов состоит в замене бесконечномерной задачи n-мерной, т. е. в переходе к дискретной модели. В методе конечных элементов такой переход осуществляется следующим образом:

• 1. В рассматриваемой области упругого тела фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узлами. Далее, не теряя общности, будем полагать, что неизвестная функция в узле определяется одним значением.
• 2. Значение непрерывной функции v в каждом узле считается переменной, которая должна быть определена.
• 3. Область разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узлы и в совокупности аппроксимируют форму упругого тела.
• 4. На каждом элементе непрерывная функция v аппроксимируется полиномиальными функциями k, i, называемыми функциями формы, значения которых внутри элемента и на его границах определяются через значения функции в узлах. Здесь индекс k относится к элементу, а индекс i — к узлу. Для каждого элемента назначаются свои полиномы, но они подбираются так, чтобы выполнялись некоторые условия относительно функций k, i при переходе через границы элементов. В классической реализации метода конечных элементов функции при переходе через границы элементов должны оставаться непрерывными.