Определение, обозначения и типы матриц

Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:

Где элементы матрицы aij (1?i?m, 1? j?n)-числа из поля .Для наших целей поле будет либо множеством всех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы, где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят, что матрица квадратная, порядка n. В общем случаем матрица называется прямоугольной.

Каждой матрице с элементами aij соответствует nЧm матрица с элементами aji. Она называется транспонированной к и обозначается через. Видно, что =. Строки матрицы становятся столбцами в и столбцы матрицы становятся строками в.

Матрица называется нулевой если все элементы равны 0:

Матрица называется треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали равны 0.

Треугольная матрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0.

Диагональной матрица называется единичной, если все элементы расположенные на главной диагонали равны 1.

Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранных строк матрицы и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы. Еслиномера выбранных строк иномера выбранных столбцов, то субматрица это.

В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.

Операции над матрицами Определим следующие операции:

Сумма двух матриц, и с элементами и есть матрица С с элементами, запишем это как.

Произведение матрицы на число поля есть матрица С с элементами, запишем как .

Произведение матрицы на матрицу есть матрица С с элементами, запишем.

поле скаляров, рассмотрим, где элемент матрицы, расположенный встроке, -столбце. Размерность матрицы .Если, токвадратная матрица порядка. Множествоэто множество всех матриц над полем .

Опр. Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы. Другими словами: равна матрице, т. е.

Опр. Пустьэто матрицы одинаковой размерности. Суммой матриц и называется матрица у которой в строке, столбце расположен элемент, т. е.. Другими словами: Чтобы сложить две матрицы нужно сложить соответствующие элементы:

Пример:

Опр. Пусть, ,. Произведение скаляра на матрицу называется у которой в строке, столбце расположен элемент. Другими словами: Чтобы скаляр умножить на матрицу нужно все элементы матрицы умножить на скаляр .

Определение. Противоположной к матрице называется матрица.

Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:

• -абелева группа
• 1) Сложение матриц ассоциативно и коммутативно.
• 2)
• 3)
• а)
• б)
• 4)