Вероятность случайной величины

Измерения, содержащие случайные ошибки, описываются с помощью теории вероятности. Поэтому основное понятие теории случайных измерений — это вероятность. 4. c.14].

С понятием вероятности случайных событий мы встречаемся в своей повседневной деятельности, когда оцениваем шансы появления такого рода событий. Вероятность события A — это число P (A), характеризующее возможность появления этого события. По определению, 0? P (A)?1 — вероятность невозможного события равна нулю, достоверного равна единице. Иногда вероятность выражают в процентах. Строгое введение понятия вероятности основывается на законе больших чисел. [4. c. 15].

Для описания вероятности введем отношение =m/n числа m появлений события A при n испытаниях; оно называется частотой этого события. Тогда для любого сколь угодно малого >0 существует число P такое, что при достаточно большом числе испытаний n | - P|<. Число P называется вероятностью появления события A; по сути дела это предел, к которому стремится частота события A при n——>?. 4. 20].

Распределение Гаусса для бесконечного числа случайных измерений

Для характеристики случайной величины нужно знать множество возможных значений этой величины и вероятности, с которыми она может принимать эти значения. Эти данные образуют закон распределения случайной величины. Например, распределение числа очков при бросании игральной кости описывается равными вероятностями, 1/6, для каждого значения от 1 до 6. Это распределение дискретной случайной величины. Часто встречаются непрерывные случайные величины, возможные значения которых заполняют всю числовую ось (или некоторые интервалы).

В теории случайных ошибок измерений важное значение имеет нормальный закон распределения или функция Гаусса. Он справедлив, когда действуют сразу несколько источников ошибок, и ни один из них не доминирует; при этом каждый источник вносит лишь малую долю в общую ошибку. Нормальный закон распределения вероятности случайных ошибок описывается формулой Гаусса:

.

где x — случайная величина измерения; x0 — ее истинное значение; чаще всего неизвестно; ² — дисперсия распределения; e=2,71 928 — фундаментальная математическая постоянная. 1. c. 35].

На рис. 1 представлены графики p (x) для трех различных значений дисперсии. Видно, что наибольшая вероятность измерения попадает на истинные значенияx0.

В математической статистике показывается, что в качестве истинного значения x0 можно использовать среднее арифметическое из n измерений:

где x_n — значение n-го измерения случайной величины x. Чем больше проведено испытаний (n), тем лучше выполняется это утверждение, т. е.