Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского

Конформно-евклидова модель Пуанкаре (иногда называется диск Пуанкаре) — модель пространства Лобачевского, предложенная Анри Пуанкаре в 1882 году в связи с задачами теории функций комплексного переменного. Существуют разновидности модели — в круге и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Модель Пуанкаре примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами (то есть модель Пуанкаре конформна) в отличие от модели Клейна, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

Модель Пуанкаре в круге В модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей, перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в единичном круге является:

.

где x и y — оси абcцисс и ординат, соответственно.

Аналогично, в модели Пуанкаре в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

Модели Пуанкаре на полуплоскости и в полупространстве В модели Пуанкаре на полуплоскости за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абcцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Метрика ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости имеет вид:

.

Соответственно, в модели Пуанкаре в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.

Роль плоскости Лобачевского играет открытая полуплоскость; роль прямых выполняют содержащиеся в ней полуокружности с центрами на ограничивающей ее прямой и лучи, перпендикулярные этой прямой. Роль наложений выполняют композиции инверсий относительно этих полуокружностей и отражений в лучах. Все аксиомы евклидовой геометрии здесь выполняются, кроме аксиомы параллельных, тем самым в этой модели выполняется геометрия Лобачевского.

Опишем эту модель более подробно и докажем сказанное. Берем на обычной евклидовой плоскости какую-нибудь прямую р и ограниченную ею открытую полуплоскость Р. Прямую р назовем граничной прямой. Полуплоскость Р будет играть роль плоскости Лобачевского; мы будем называть ее «плоскостью» в кавычках. Точками в модели будут точки этой «плоскости», т. е. полуплоскости Р. За «прямые» в модели принимаем, во-первых, содержащиеся в Р полуокружности, центры которых лежат на граничной прямой. «Отрезок» АВ в модели — это дуга такой полуокружности с концами A, В.

Подчеркнем, что конец «отрезка» не может быть концом полуокружности, представляющей прямую; ее концы исключены вместе с граничной прямой; «плоскость» — это открытая полуплоскость. Точка «прямой» служит общим началом двух «лучей» — двух дуг полуокружности (с исключенными концами). «Углом» назовем фигуру из двух «лучей» с общим началом, не содержащихся в одной «прямой» .

Помимо указанных «прямых» есть еще «прямые» — это полупрямые, перпендикулярные граничной прямой. Они являются пределами рассмотренных полуокружностей. Когда центр полуокружности удаляется по граничной прямой, а полуокружность проходит через данную точку, то она «распрямляется» и в пределе переходит в полупрямую. Поэтому мы дальше будем мыслить указанные полупрямые среди «прямых» модели в качестве полуокружностей, как «полуокружности бесконечного радиуса». Это позволит обойтись без скучных оговорок, касающихся этих полупрямых, причем, однако, следует помнить условность этого и быть готовым проверять утверждения для таких «полуокружностей». («Отрезок» на такой «прямой» — это обычный отрезок, а «лучи» — один обычный луч, другой — отрезок с исключенным концом на граничной прямой.).

Рассмотрим теперь в этой модели те аксиомы, в которые не входит понятие о равенстве отрезков и углов.

Аксиома параллельных для прямых относится к таким аксиомам. В данной модели она явно не выполняется: через точку А, не лежащую на «прямой» а, проходит бесконечно много «прямых», не имеющих с, а общих точек.

Все прочие аксиомы, говорящие о связи точек и отрезков или точек и прямых, о взаимном расположении точек и прямых, здесь выполняются. Так, на рисунке указано построение отрезка с данными концами. Далее, возьмем полуокружность, представляющую «прямую» в модели. Проведем прямую l, касающуюся этой полуокружности и параллельную граничной прямой. Спроектируем полуокружность из ее центра на прямую l. Получим взаимно однозначное, сохраняющее порядок точек, соответствие между точками прямой и полуокружности, т. е. «прямой» модели. Все свойства, выраженные в аксиомах, будут одни и те же. Они также очевидно выполнены на полупрямых, представляющих «прямые» модели. Аксиома деления плоскости также выполняется. «Прямая» — полуокружность — делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Это и будут «полуплоскости» в нашей модели. Из одной в другую нельзя перейти по какой-либо дуге, не пересекая разделяющую их «прямую» — полуокружность.

Остается определить равенство «отрезков» и «углов» так, чтобы выполнялись соответствующие аксиомы. Это мы сделаем, определив «наложение». Сначала определим «отражение в прямой». За «отражение в прямой» примем инверсию в той окружности, полуокружность которой представляет данная «прямая». Если же «прямая» — это полупрямая, перпендикулярная граничной прямой, то «отражением» в ней будет обычное отражение.

" Наложением" в модели называем любую композицию «отражений». «Равными» считаем фигуры, в частности, «отрезки» и «углы», совмещаемые «наложением» .

Это определение сразу приводит к выводу: углы, «равные» в модели, равны без кавычек — в обычном смысле. В самом деле, углы при инверсиях сохраняются, т. е. преобразуются в равные, но они «равны» в модели по определению. Обратно: углы, «равные» в модели, — это т. е., которые преобразуются друг в друга «наложениями», т. е. инверсиями, и, стало быть, они равны в обычном смысле.

При инверсии в окружности с центром на граничной прямой эта прямая и полуплоскость Р отображаются на себя. Поэтому содержащаяся в Р полуокружность с центром на граничной прямой отображается на такую же полуокружность. В модели это означает, что при «отражениях» «прямые» переходят в «прямые». Очевидно, что также «лучи» переходят в «лучи» и «отрезки» — в «отрезки» .

На этом доказательство того, что в рассмотренной модели выполняется геометрия Лобачевского, заканчивается. Требование аксиомы меньшего отрезка, что в отрезок нельзя уместить ему равный, заведомо Выполняется при том, что уже доказано. Впрочем, доказательство того, что оно выполнено, читатель может провести сам.

Описанную модель плоскости Лобачевского можно еще назвать конформной, поскольку в ней наложения представляются инверсиями — преобразованиями, сохраняющими углы.