Краевая задача.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Где в краевых условиях считается, что Очень важен часто встречающийся случай — линейное дифференциальное уравнение 2-ого порядка. Таким образом, исходная краевая задача свелась к задаче 1-го порядка для систем двух уравнений. Краевую задачу, которую мы и будем рассматривать в дальнейшем. Перейдем от этой задачи к системе уравнений первого порядка. Пусть и. Тогда уравнение переходит в. Рассмотрим… Читать ещё >
Краевая задача. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Постановка краевой задачи
Краевая задача — часто встречающаяся в математической физике задача, в которой из класса функций, определенных в данной области, требуется найти функцию, удовлетворяющую на границе (крае) этой области заданным условиям.
Сформулируем краевую задачу для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, являющуюся одной из самых существенных. Такая задача имеет вид:
где в краевых условиях считается, что Очень важен часто встречающийся случай — линейное дифференциальное уравнение 2-ого порядка.
краевую задачу, которую мы и будем рассматривать в дальнейшем.
Численные методы решения краевой задачи
Метод стрельбы
Метод стрельбы — это численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к решению последовательности задач Коши для той же системы дифференциальных уравнений.
Рассмотрим краевую задачу для ОДУ:
Перейдем от этой задачи к системе уравнений первого порядка.
Пусть и. Тогда уравнение переходит в.
А краевые условия принимают вид.
Таким образом, исходная краевая задача свелась к задаче 1-го порядка для систем двух уравнений.
Метод стрельбы — это переход от решения исходной краевой задачи к решению некоторой задачи Коши для системы (2.1.2). Для этого выберем произвольное значение. Теперь решаем систему ОДУ (2.1.2) с начальными условиями:
Такая задача является задачей Коши, решим ее некоторым способом. Решение наверняка не будет удовлетворять второму краевому условию. Чтобы удовлетворить ему, дальнейшая «стрельба» сводится к нахождению корня уравнения:
Метод решения данного уравнение будет аналогичен методу решения нелинейного уравнения, например, подойдет метод секущих. С его помощью можно найти последующее приближенное значение по двум предыдущим и, поэтому нужно взять второе произвольное значение. Следующее значение искомого корня будет определяться из формулы:
При этом стоит заметить, что при каждом выбранном необходимо решать задачу Коши системы дифференциальных уравнений (2.1.2) с начальными условиями: