Объём шара. 
Сфера и шар

После столь длительных подготовок, мы, основываясь на теоретических знаниях изложенных выше, можем приступить к доказательству теоремы о вычислении объёма шара с помощью определённого интеграла.

Теорема. Объём шара радиуса R равен.

Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. 10). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S (х), где х — абсцисса точки М. Выразим S (х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:

.

Так как , то.

.

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при , , получим.

Теорема доказана.

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью (рис. 11). Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента. Объем шарового сегмента находится при помощи тех же рассуждений из рис. 11, стоит лишь веять не все тело («цилиндр без конуса»), а его часть, отсеченную плоскостью, параллельной основанию. Рассмотрим, например, шаровой сегмент, лежащий выше секущей плоскости, проведенной на высоте х от плоскости основания полушара, т. е. на расстоянии от верхней точки полушара. Величина h называется стрелкой сегмента. Искомый объем будет равен разности объемов цилиндра радиуса R с высотой h и усеченного конуса; так как радиус малого основания конуса равен, то получаем для объема сегмента.

.

Раскрывая скобки и упрощая выражение, приведем его к виду.

.

Эта формула выведена для сегмента, стрелка которого не превосходит радиуса шара. Она остается верна и для сегмента c любой стрелкой. Пусть сегмент со стрелкой — дополнительный к сегменту со стрелкой. Вычислим его объём как разность объёмов шара и сегмента со стрелкой h:

.

Заменим здесь h через 2R-h₁:

.

Раскрывая скобки и производя упрощения, получим.

.

т.е. такую же формулу, что и раньше.

Интересен вывод формулы объёма шарового сегмента с помощью определённого интеграла.

Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рисунке 12 h=AB), то V шарового сегмента вычисляется по формуле.

.

Действительно, проведём ось Ox перпендикулярно к плоскости (рис. 12). Тогда площадь S (x) произвольного сечения шарового сегмента плоскостью, перпендикулярной к оси Ox, выражается формулой (1) при. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при, получим.

.

Как видите, вычисление объёмов тел с помощью интеграла даёт большой выигрыш во времени.