Модель Гейзенберга. 
Обменное взаимодействие

Наряду с классическим кулоновским взаимодействием, гамильтониан содержит чисто квантовый член, зависящий от ориентации спинов. Этот вклад обусловлен обменным взаимодействием. Гамильтониан Гейзенберга.

H_обм = -J (S₁S₂) (28).

J- обменный интеграл

Если J > 0, то E_обм= -2J (S₁S₂), для S_1,2 = ½: S₁S₂ = ¼ J < 0 S₁S₂= -¼.

Для большого числа электронов обменная энергия.

E_обм = - _ijJ_ij(S₁S₂) (29).

Для 2-х электронов — 4 состояния (2 триплетных и 2 синглетных).

J = ½ (E_S-E_t) ((30).

J > 0 E_t < E_S, J < 0 E_t > E_S

Для атомов водорода интеграл перекрытия имеет вид.

J=e²(1/r-1/r_a2-1/r_в1) ^*_a(1)^*_в(2)_a(1)_в(2)dr₁dr₂. ((31).

Обозначения поясняются на рис. (4).

На рисунке 5 качественно изображена зависимость J (R/a), где R — расстояние между атомами, а-радиус недостроенной оболочки (d или f)[8].

Рисунок -4. Пояснение к обозначениям.

Рисунок -5. Качественный вид зависимости J (R/a).

Модели с Гейзенберговским гамильтонианом

Модель Гейзенберга

Для описания ферромагнитного или антиферромагнитного упорядочивания в различных математических моделях обычно используют выражение энергии обменного взаимодействия спинов, предложенного Дираком, в котором энергия пропорциональна скалярному произведению операторов спинов s₁ и s₂

(ГейзГам) (32).

где — обменный интеграл. Его знак определяет тип взаимодействия: описывает ферромагнитное упорядочивание, а — антиферромагнитное. Выражение (ГейзГам) называют гамильтонианом Гейзенберга. Большинство магнетиков достаточно хорошо им описываются, однако в ряде случаев необходимо учитывать отличие реального гамильтониана от гейзенберговского. В простейшем случае он содержит только первую степень скалярного произведения, что соответствует спину (одноэлектронный ион), иначе необходимо учитывать слагаемые со степенями вплоть до 2s (многоэлектронные ионы). Барьяхтар—1986——18—19−24 Случай, когда присутствует квадратичная поправка, называют биквадратным обменом. Она достигает минимума, когда спины перпендикулярны друг другу. Подобная связь между спинами может наблюдаться в многослойных системах.

Так как гамильтониан макроскопического тела, учитывающий кинетические энергии и энергии кулоновского взаимодействия ионов и электронов, имеет слишком сложную структуру для аналитического анализа, обычно предполагают что его можно заменить суммой гамильтонианов вида (ГейзГам). В таком случае обменный гамильтониан принимает вид.

(33).

где сумма берётся по узлам решётки. Его иногда также называют гамильтонианом Гейзенберга—Дирака—ван Флека. Во многих случаях можно считать, что обменный интеграл J быстро спадает с расстоянием и отличен от нуля только для соседних узлов магнитной подрешётки. Учёт более дальних соседей приводит к более сложному упорядочиванию спинов: геликоидальному, неколлинеарному и другим. 8] Обменный гамильтониан Гейзенберга является изотропным и не определяет направления суммарной намагниченности системы. Он коммутирует с каждой из проекций суммарного спина S:

(34).

Поэтому обменное взаимодействие не может влиять на величину полного спина системы.

В случае спиновой природы магнитного момента ферромагнетика можно перейти от оператора спина к оператору плотности магнитного момента через дельтафункцию Дирака д:

(35).

где g — множитель Ланде, — магнетон Бора. Тогда можно записать макроскопическую энергию, соответствующую обменному гамильтониану, как.

(36).

где функция мало отличается от обменного интеграла при температурах, далёких от точки Кюри. Разложение намагниченности в ряд Тейлора позволяет выделить две составляющие макроскопической обменной энергии, одна из которых зависит только от модуля вектора намагниченности, а другая определяется его пространственными производными:

(37).

где.

(38).

В этом выражении не учитываются поверхностные эффекты, вклад в которые могут давать нечётные степени в разложении функции M по степеням r. Они могут быть актуальны для пироэлектрических кристаллов. Порядок констант A и Л определяется значением обменного интеграла J₀ для соседних атомов и постоянной магнитной решётки a. В простейшем случае их оценивают как и. Сам обменный интеграл соседних ионов равен.

(39).

где k — константа Больцмана, T_C — температура Кюри, а N — количество ближайших соседей (6 для кубической решётки). Для железа эта формула даёт значение 1,19· 10^?2 эВ. Более точные оценки увеличивают это число на 40%.