Дайте определение начальных и центральных моментов, моды, медианы, асимметрии и эксцесса
Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а второго порядка есть дисперсия. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.3. Коэффициентом асимметрии распределения случайной величины называется: Теорема 12.1 (Неравенство Чебышева). Для случайной величины при > 0 верно неравенство: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2. Начальным моментом kго порядка… Читать ещё >
Дайте определение начальных и центральных моментов, моды, медианы, асимметрии и эксцесса (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется:
(11.1) .
Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а второго порядка есть дисперсия.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2. Начальным моментом kго порядка случайной величины называется.
(11.2) .
Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.3. Коэффициентом асимметрии распределения случайной величины называется:
(11.3) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.4. Эксцессом распределения случайной величины называется:
(11.4) .
Докажите первое и второе неравенство Чебышева
Теорема 12.1 (Неравенство Чебышева). Для случайной величины при > 0 верно неравенство:
.
Доказательство:
Оценим вероятность противоположного события:
.
Здесь: (х) плотность случайной величины; первое неравенство верно, т.к. подынтегральная функция умножена на выражение, а в области интегрирования х удовлетворяет неравенству; второе неравенство верно, т.к. при увеличении интервала интегрирования интеграл от неотрицательной функции не уменьшается.
Из полученного неравенства перейдя к вероятности противоположного события получаем неравенство Чебышева. Следовательно, теорема доказана.