Приближенное вычисление корней системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Вариант 4.

Цель работы: освоение методов приближенного вычисления корней системы нелинейных уравнений f (x) = 0. Распространение навыков, полученных при выполнении лабораторной работы № 2 на систему уравнений. Подробное изучение метода Ньютона. Получение навыков решения задач вычислительной математики на ЭВМ.

Задание: Написать программу вычисления приближенного решения системы нелинейных уравнений f (x) = 0 с точностью = 10^-5 методом Ньютона для случаев: Частные производные находятся аналитически, Частные производные находятся численно.

Решение:

Введем переменные f_x, f_y, g_x, g_y, где.

В данном случае производные находятся аналитически. Запишем Якобиан для системы из двух уравнений:

(4).

Отсюда находим.

(5).

Искомые x, y находятся следующим образом:

(6).

(7).

Теперь найдем частные производные численно. Для этого обратимся к определению частной производной.

Пусть функция z=f (x, y) определена в области D и (x₀, y₀) D. Тогда при малых |?x| определено ее частное приращение по x:

.

Частной производной функции f (x, y) по переменной x в точке (x₀, y₀) называют предел.

.

если он существует.

Воспользуемся данным определением и запишем переменные f_x, f_y, g_x, g_y следующим образом:

Таким образом x, y находятся так же, как в первом случае, то есть по формулам (6) и (7).

Построим графики функций и, пересечения которых дадут точки, являющиеся решением системы :

• (0,0)
• (1,1)
• (-2,2)

Результат работы программы:

Блок-схема Код программы:

#include «stdafx.h» .

#include.

#include.

using namespace std;

double f (double x, double y).

{.

return pow (x, 3) + 2 * pow (x, 2) — 3 * x*pow (y, 2) + 6 * x*y — x — 2 * pow (y, 2) + y + 4;

}.

double g (double x, double y).

{.

returnpow (y, 3) + 3 * pow (y, 2) + 3 * pow (x, 2)*y + 4 * x*y — y — 3 * pow (x, 2) — x — 2;

}.

double Proizv (double x, double y, char n, int k).

{.

double h = 0.0001;

if (k == 0){.

if (n == 'x').

return (f (x + h, y) — f (x, y)) / h;

else.

return (f (x, y + h) — f (x, y)) / h;

}.

else.

{.

if (n == 'x').

return (g (x + h, y) — g (x, y)) / h;

else.

return (g (x, y + h) — g (x, y)) / h;

}.

}.

void f₁(long double x, long double y).

{.

cout << «Аналитическая производная» << endl;

double f_x, f_y, g_x, g_y, det, x₁, x₂;

int i;

x₁ = x₂ = 1;

const double e = 0.1;

for (i = 0; sqrt (pow (x₁, 2) + pow (x₂, 2)) > e; i++).

{.

f_x = 3 * pow (x, 2) + 4 * x — 3 * pow (y, 2) + 6 * y — 1;

f_y = -6 * x*y + 6 * x — 4 * y + 1;

g_x = 6 * x*y + 4 * y — 6 * x — 1;

g_y = -3 * pow (y, 2) + 6 * y + 3 * pow (x, 2) + 4 * x — 1;

det = f_x*g_y — g_x*f_y;

x₁ = (g_y*f (x, y) — f_y*g (x, y)) / det;

x₂ = (f_x*g (x, y) — g_x*f (x, y)) / det;

x = x — x₁;

y = y — x₂;

}.

cout << «Количество итераций: «<< i << endl;

cout << «x: «<< x << «, «<< «y: «<< y << endl;

}.

void f₂(double x, double y).

{.

cout << «Численная производная.» << endl;

double f_x, f_y, g_x, g_y, det, x₁, x₂;

int i;

x₁ = x₂ = 1;

const double e = 0.1;

for (i = 0; sqrt (pow (x₁, 2) + pow (x₂, 2)) > e; i++).

{.

f_x = Proizv (x, y, 'x', 0);

f_y = Proizv (x, y, 'y', 0);

g_x = Proizv (x, y, 'x', 1);

g_y = Proizv (x, y, 'y', 1);

det = f_x*g_y — g_x*f_y;

x₁ = (g_y*f (x, y) — f_y*g (x, y)) / det;

x₂ = (f_x*g (x, y) — g_x*f (x, y)) / det;

x = x — x₁;

y = y — x₂;

}.

cout << «Количество итераций: «<< i << endl;

cout << «x: «<< x << «, «<< «y: «<< y << endl;

}.

int main ().

{.

setlocale (LC_ALL, «RUS»);

double x, y;

cout << «Введите начальное приближение: «<< endl;

cout << «x=»;

cin >> x;

cout << «y=»;

cin >> y;

f₁(x, y);

f₂(x, y);

}.