Основные логические операции

Логические операции булевой алгебры подобны арифметическим операциям элементарной алгебры. Если последние применяются к числам, то первые?—?к логическим значениям соответствующих высказываний. Составные высказывания можно получать с помощью логических операций так же, как в элементарной алгебре?—?формулы. И, если известны значения исходных высказываний, значение составного высказывания можно вычислить, прибегая лишь к формальным правилам. Уравнения, составленные в алгебре логики можно формально решать. Все это обеспечивает широкие возможности по применению математического аппарата к суждениям из реальной жизни (там, где не хватает аппарата булевой алгебры, применяются более сложные методы математической логики, в частности, исчисление предикатов первого порядка и др.).

Основными логическими операциями являются операции отрицания, логического И и логического ИЛИ. Именно с помощью них наиболее удобно оперировать с логическими выражениями. Производные логические операции могут быть выражены через них.

Отрицание НЕ Отрицание?—?операция, применяемая к одному операнду, т. е. унарная операция. Выражение не, А записывается как А, А_ _ _ или! А. Операции отрицания задается таблицей истинности показанной правее:

Соответственно, операции отрицания можно дать следующее истолкование: истинность выражения, построенного с помощью отрицания, противоположна истинности исходного выражения. Если, А истинно, А ложно, и наоборот.

В некотором роде операция отрицания подобна операции отрицания в элементарной алгебре. Последняя меняла значение числа на противоположное: положительное на отрицательное и наоборот.

Логическое И Логическое И (конъюнкция)?—?операция, применяемая к двум операндам, т. е. бинарная операция. Выражение, А и В записывается как, А В, А. В или А&В. Конъюнкция задается таблицей истинности :

Логическое И, как не сложно понять из названия, образует выражение, которое истинно только тогда, когда истинны оба исходных выражения, входящих в его состав: И первое, И второе.

Операция конъюнкции подобна умножению. Это легко заметить по таблицы истинности. Конъюнкция дает такой же результат, как если бы мы просто перемножали ее операнды.

Логическое ИЛИ Логическое ИЛИ (дизъюнкция)?—?еще одна бинарная операция. Выражение, А или В записывается как А? В, А+В или А||В. Дизъюнкция задается таблицей истинности:

Логическое ИЛИ образует выражение, которое истинно тогда, когда истинно хотя бы одно исходных выражение, входящее в его состав: ИЛИ первое, ИЛИ второе.

Операция дизъюнкции подобна сложению. Как и в случае с конъюнкцией, это можно заметить по таблице истинности. Единственным исключением тут является правило 1+1=1, а не 2, как можно было бы ожидать. Но это нормальное явление, учитывая, что пространство логических значений ограничено нулем и единицей.