Нахождение коэффициентов Фурье функции плотности — образа p (x)

Теорема Гильберта — Шмидта Теорема разложения: всякая функция p (x), которую можно представить истокообразно в форме уравнения Фредгольма с помощью функции y (x), может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям ядра :

(38).

раскладывается в ряд.

(39).

где есть коэффициенты Фурье. Ряд сходится абсолютно и равномерно на интервале [a;b] к p (x). Тихонов А. Б., Васильева А. Б. Интегральные уравнения. 2 — е издание. М: ФИЗМАТЛИТ. 2002. С. 50 — 52.

Аналогичным способом применяем данную теорему и для неизвестной функции y (x), которая служит решением уравнения Фредгольма первого рода:

(40).

«Уловка ядра»

Приступаем к решению задачи с помощью метода «kernel trick» или «уловки ядра». Заменив интегральный оператор на матричный и получив коэффициенты Фурье функции образа p (x), мы без труда находим коэффициенты новой функции плотности вероятности. Символьный вид уравнения:

(41).

где и — коэффициенты Фурье функции образа p (x) и функции истока y (x), л — собственные значения ядра преобразования.

Из курса линейной алгебры знаем, что если существует оператор со свойствами, то называется обратным оператором по отношению к A. Данное условие может удовлетворяться только в том случае, если A — квадратная матрица и ее детерминант не равен нулю. Интегральный линейный оператор представлен матрицей A. Линейная независимость базисных векторов обеспечивает невырожденность матрицы, поэтому она имеет обратную.

Из полученного выражения нетрудно найти коэффициенты Фурье новой функции y (x) путем умножения вектора коэффициентов функции — образа на обратную матрицу :

(42).

Получив коэффициенты восстанавливаемой функции y (x) находим ее приближенное решение по теореме Гилберта — Шмидта:

(43).