Традиционность подходов и определений

Фундаментальные математические понятия (функции, производной, определителя, группы) имеют устоявшиеся определения. В процессе историко-генетического и внутренне-логического развития данного математического понятия выкристаллизовываются обозначающий его термин и основные определения. Из основных определений, если их несколько, в литературе закрепляется одно ведущее методически обусловленное определение. Такой отбор может быть вызван эстетическими соображениями (простота, логичность, наглядность, эффективность). В результате получается классическое определение понятия. На наш взгляд, определения, эквивалентные классическому варианту, желательно преподносить как теоремы характеризации.

Представляется совершенно очевидным, что в вузовском курсе математики важнейшие понятия должны определяться классически, а начала соответствующих теорий следует излагать традиционно. В противном случае будут ошибки принципиального характера и бесполезная потеря времени, появится новое поколение недоучек. Методические эксперименты можно ставить только на устойчивом фундаменте традиционных знаний.

Скажем, производную функции в точке необходимо вводить как предел отношения приращения функции к приращению аргумента в данной точке. И правила дифференцирования должны доказываться на основе этого классического определения. Другие подходы к изложению основ дифференциального исчисления для первокурсников методически ущербны. Нестандартный математический анализ может успешно изучаться лишь на базе классического математического анализа. Изучение аналитической геометрии нельзя начинать с определения векторного пространства. В общей алгебре (мультипликативную) группу следует определять как полугруппу с единицей, все элементы которой обратимы. Конечно, группу можно определить более осязаемо, как группу преобразований множества, но этот эквивалентный подход лучше сформулировать в виде теоремы Кэли.

Естественность и разнообразие методов

После того как традиционный подход осуществлен, и самые начала математики студентами усвоены, вполне возможно и даже желательно разнообразить арсенал методических приемов преподавания и естественных методов доказательства последующих теорем. Здесь пригодятся общие идеи и абстракции более высокого логического уровня. Так, ниже на основе теоремы о гомоморфизмах для векторных пространств мы докажем несколько других теорем линейной алгебры и покажем действенность порядкового подхода при (повторном) анализе ряда классических математических понятий. Наиболее значимые теоремы полезно доказать двумя способами — стандартно и обобщенно. Оба доказательства должны быть естественными: первое — в рамках традиционного подхода, а второе — в качестве приложения общих идей. Приложение III содержит теоретико-групповые доказательства важнейших теорем элементарной теории чисел. Заметим, что основные теоремы мы сначала поясняем «на пальцах», а затем уже строго доказываем. Эффективным организационно-методическим способом обучения является выдача студентам для предварительного ознакомления текста одной или нескольких очередных лекций, а также широкое использование электронных учебных пособий.

Нетрадиционные подходы и нестандартные методики можно успешно реализовать в научных кружках, на факультативных занятиях, при выполнении курсовых и дипломных работ.