Различные подходы к пониманию природы математики

Арифметику невозможно понять, в нее приходится верить.

Мария Кунцевич

Он стал поэтом — для математика у него не хватило фантазии.

Давид Гильберт

Уже на протяжении 2500 лет высказывается масса различных и зачастую взаимоисключающих взглядов математиков и философов на природу математики. Это показывает, что невозможно решить философские проблемы математики однозначно, раз и навсегда. Скажем, рассматривая смысл какого-либо важного понятия, видим, что за ним встает второй смысл, затем третий смысл и т. д. Приходится сознательно заострять и упрощать некоторые положения принципиального характера. Тем не менее такие попытки представляются полезными.

Рассмотрим вкратце некоторые философские подходы к пониманию математики. Сюда можно отнести и направления, сложившиеся в самих основаниях математики: логицизм, формализм, интуиционизм и конструктивизм, классическое, или теоретико-множественное, направление, включающее бурбакизм. Хорошо известны пифагореизм, учение Платона и неоплатоников, теория универсальной характеристики Готфрида Лейбница, гносеология Иммануила Канта, феноменология Эдмунда Гуссерля, диалектико-материалистическая теория отражения, аналитическая философия Людвига Витгенштейна, критический рационализм Карла Поппера, эмпиризм Имре Лакатоса, психологизм Жана Пиаже и другие теории, по-своему объясняющие природу математики. В последнее время стало модным социокультурное толкование математики.

Математика определяется и как квазиэмпирическая наука [317, с. 438], имеющая дело с гипотезами, всевозможными логическими и внематематическими допущениями. В. И. Арнольд считает, что математика — часть теоретической физики. Также имеет право на существование взгляд на математику как гуманитарную науку Такого подхода придерживался известный математик-конструктивист А. А. Марков, высказывавшийся в том духе, что теоремы скорее изображают нечто, чем открывают это.

Разумеется, подавляющее большинство специалистов-математиков и некоторые философы науки придерживаются фундаменталистских, то есть, как мы считаем, более реалистических и рациональных взглядов на природу современной математики. При этом математика представляется точной наукой, имеющей свой особый бытийный статус.

Многие великие философы и выдающиеся математики обращали свой взор на мировоззренческие проблемы математики, на роль математики в семействе наук, на взаимосвязи математики и философии, на статус и природу математики. Неоспоримый вклад в философию и методологию математики внесли древнегреческие и средневековые мыслители, Ньютон, Лейбниц, Декарт, Гоббс, Локк, Юм, Галилей и другие. Оригинальную философию познания выдвинул Кант. Вплоть до XIX века математика считалась «царицей наук» и главным инструментом познания природы. С конца XIX века большинство методологических вопросов математики решалось в рамках оснований математики (назовем математиков Фреге, Кантора, Пуанкаре, Рассела, Гильберта, Брауэра, Вейля, группу Бурбаки — см. § 7).

В XX веке философии математики большое внимание уделяли философы Эдмунд Гуссерль (в рамках своей феноменологии), Людвиг Витгенштейн (основатель аналитической философии), Карл Поппер (родоначальник философии критического рационализма), Имре Лакатос (автор теории контрпримеров, наглядно представленной в его книге [300]), психолог Жан Пиаже (создатель генетической эпистемологии).

Математика как наука начинается с древнегреческих мыслителей Фалеса и Пифагора, когда впервые в человеческой истории появляются и осознаются логический вывод, дедуктивное рассуждение, математическое доказательство. В философии пифагореизма обожествлялось понятие натурального числа, и все знание, так или иначе, сводилось к первому натуральному числу 1. Мир устроен гармонично и выразим арифметически. Учение Пифагора есть одно из проявлений логического атомизма — первой теории познания, в основе которой лежит признание первоэлемента или первоначала, будь то одна из стихий (вода, воздух, огонь или земля), мистический апейрон Анаксимандра, загадочный атом Демокрита или вездесущая единица у Пифагора. В математике логический атомизм привел к введению первоначальных, или первичных, понятий. Философию логического атомизма развивал и отстаивал ранний Рассел [450].

Далее неминуемо возникает герменевтический круг, заключающийся в проблеме взаимодействия части и целого. В современном понимании это диалектика двух противоположных направлений познания — редукционизма и холизма. Напомним, что редукционизм есть принцип сведения объекта к «низшим» составляющим, к его частям и элементам. Холизм же схватывает объект целиком, рассматривает объект как единую принципиально неделимую сущность более высокого уровня, нежели его части, включает данный объект в новую систему еще более высокой иерархии.

Как пишет В. В. Мадер, «выход из этого круга свелся к следующему. Сначала на интуитивной эмпирико-сенсуалистической основе формируются наглядные эмпирические предпонятия. Затем выделяется структура целого и происходит восхождение на теоретический уровень. Первичные понятия на этом уровне определяются только своей ролью в описываемой системе, а их эмпирические прообразы (наглядные предпонятия) остаются вне теории… Гносеологический атомизм является таким образом доктриной, которая характеризует процесс формирования эмпирических предпонятий, на теоретическом же уровне ведущим принципом становится системный подход» [317, с. 21—22].

Платон и неоплатоники считают математику посредницей между Миром вещей и Миром идей. Математические понятия, как и любые другие универсалии, находятся в Мире идей. Математическая реальность существует и воплощается в человеческом сознании и окружающих нас вещах. Чувственные восприятия вещей, наблюдения и практическая деятельность человека служат лишь толчком к рефлексии, умозрительному постижению математики. Размышления настраивают сознание на определенную познавательную волну, а механизмом познания, открытия нового для человека знания, всегда и неизменно обитаемого в Мире идей, является знаменитый сократовский диалог, или майевтика.

Существует представление, согласно которому математика делится на «естественную» и «искусственную» [336, с. 73]. Первая — это объективная математика, открывающая и изучающая реальность, та, о которой мы говорили. «Искусственная» математика изобретается, «творится» математиками; она находится на обочине магистрального пути математики, принципиально не влияя на ее развитие. Такая математика не отвечает фундаментальному принципу познания — принципу красоты, или целесообразности.

Среди математиков, логиков и информатиков распространено также представление о принципиальном разделении математики на теоретическую (чистую) математику и прикладную математику. Так, Н. Н. Непейвода [383, § 0.2] пишет: «Чистая математика представляет собой уникальный агрегат из квазирелигии и спорта. Вера в существование математических понятий является квазирелигией, а способ оценки результатов скорее спортивный… В прикладной математике задача приходит из жизни, но в таком виде, что она не соответствует ни имеющемуся математическому аппарату, ни (чаще всего) тому, что хотел бы от нас тот, кто ее поставил. Поэтому прикладник вынужден ставить задачу себе в значительной степени сам. Именно по данной причине чистые и прикладные математики часто не понимают друг друга, хотя основываются на одной и той же науке».

Данная характеристика чистой и прикладной математики несколько лукава. Внешне ситуация так может выглядеть. Но, во-первых, современная математика имеет огромный внутренний потенциал, не зависящий от приложений. Собственная логика развития математики (особенно ощутимая начиная с XIX века) диктует постановку глубоких задач и вырабатывает методику их решения. Во-вторых, чисто математические результаты и методы образуют теоретическую базу прикладной математики. Прикладники, как правило, не изобретают новых математических структур, а интерпретируют предметную задачу в рамках подходящей уже существующей математической теории. На этом пути возможно возникновение новой математической модели, понимаемой как симбиоз данной прикладной проблемы, соответствующего математического аппарата и конкретного способа интерпретации проблемной ситуации в математике. В-третьих, чистые математики и прикладники зачастую не понимают друг друга только потому, что имеют одностороннее образование. Для успешной работы прикладные математики должны иметь фундаментальное математическое образование. А обучение математиков-профессионалов должно включать в себя навыки математического и компьютерного моделирования.

Далее, существует тенденция разделения теоретической (чистой, фундаментальной) математики на абстрактную и конкретную математики. Наиболее явственно это выражено в предисловии знаменитой книги «Конкретная математика. Основание информатики» [163] выдающихся математиков и информатиков Р. Грэхема, Д. Кнута и О. Поташника. Авторы как бы ставят абстрактную математику на место, унизительно называя ее «новой мат’кой». Они считают, что абстрактная математика слишком вознеслась в мир выхолощенных общих абстрактных идей. И ей необходимо противопоставить настоящую, действенную математику — КОНКРЕТНУЮ математику, являющуюся конгломератом КОНтинуальной и дисКРЕТНОЙ математики и воплощающую в жизнь методы комбинаторного анализа.

Безусловно, не все ветви абстрактной математики плодотворны или так же серьезны и важны, как, скажем, теория групп. Однако целесообразные математические абстракции и обобщения образуют фундамент современной математики, на котором, в конце концов, зиждутся и достижения комбинаторики и компьютерной математики. Следует заметить, что в математике и в математическом образовании сфера дискретной математики все более расширяется. Тем не менее говорить о включении математики в вычислительную науку столь же неправомерно, как и отождествлять информатику с компьютерной математикой.

Интересный подход к пониманию математики высказал А. Д. Александров в работе [5], представив математику как идеальную технику — науку о математических аппаратах, т. е. науку техническую. Он отмечал: «Как экспериментальная техника дополняет естественные органы человека аппаратами, позволяя проникнуть туда, куда эти органы не достигают, так математика дополняет естественную мыслительную способность человека своими аппаратами и позволяет строить теории других наук и решать задачи, не доступные ни воображению, ни непосредственному мышлению». Но, по мнению А. Д. Александрова, нет оснований отказываться от определения математики как науки о возможных чистых структурах. Только надо помнить о том, что представления о допустимых абстракциях в математике исторически изменчивы.

Исследование природы математики в рамках аналитической методологии осуществил Е. И. Арепьев в книге «Аналитическая философия математики» [13] и статьях [12, 14]. Методологические подходы к философскому осмыслению математики делятся на внешнее и внутреннее рассмотрение свойств математики.

Внешнее рассмотрение заключается в узрении и описании специфических свойств математического знания в результате сопоставления и сравнительного анализа математики с другими областями знания. Оно может содержать «сравнение математических истин с выводами естественных наук, сравнение математики с естественным языком, логикой, шахматной или другой игрой и т. д.» [14, с. 79]. Например: «Основными отличительными чертами, свидетельствующими о различии сущностных основ математики и физики, выступают отсутствие в математическом знании эмпирического уровня исследования, различные степени абстрагирования, различные степени достоверности, абсолютности и универсальности» [14, с. 75]. С другой стороны, сходными с математикой и близкими к ней являются логика и естественный язык.

Внутреннее рассмотрение есть взгляд внутрь самой математики, включающий метаматематические рассуждения, логико-философский анализ математических теорий, исследование оснований и структуры математики. Полноценная методология математики подразумевает сочетание внутреннего рассмотрения с внешним. Как отмечает автор, такое комбинированное рассмотрение математики находится в русле аналитической философской традиции.

С точки зрения подразделения философского исследования математики на внешнее и внутреннее рассмотрение Е. И. Арепьев анализирует философско-математические концепции Г. Фреге, Б. Рассела, Л. Витгенштейна. На основе проведенного анализа он делает вывод о том, что внутреннее рассмотрение есть «тактическое» средство решения частных вопросов философского анализа математики. А внешнее рассмотрение автор считает общим методом построения концепции оснований математики, опирающимся на «стратегический» выбор исходных установок и ориентиров. Таким образом, Е. И. Арепьев скорее тяготеет к внешнему рассмотрению природы математики, стало быть, к социокультурной философии математики.

Интересно понимание Витгенштейном [107] природы математических истин. Он пишет: «Хотя мы никогда не сможем узнать, что такое результат вычисления, но все же каждое вычисление имеет вполне определенный результат. (Его знает Бог.) Эта математика, действительно, в высшей степени достоверна, — хотя мы обладаем лишь ее грубой копией». По Витгенштейну, природа математики объективна, а человек отыскивает (изобретает) ее грубую копию.

История развития математики убедительно показывает, что другой математики возникнуть не могло, иной математики и быть не может (многообразие обозначений, систем счисления в разных странах не существенно). Закономерно не только единое содержание математики, но и вполне закономерен исторический путь ее развития (со своими нюансами на Востоке и Западе). Различные определения и интерпретации одних и тех же математических объектов (скажем, содержательная и формальная аксиоматика натурального ряда или системы действительных чисел), неевклидовы и конечные геометрии, интуиционистская логика, нестандартный анализ или фракталы — все это математика, «рассуждающая» на языке (или метаязыке) обычной логики.

Литература: [5, 10, 12—14, 18, 23, 29, 30, 35, 39, 76, 78, 95, 107, 134, 135, 141, 151, 154, 158, 160, 163, 174, 187, 213, 228, 239, 270, 280, 286, 289, 292, 297, 306, 314, 317, 327, 333—338, 356, 366, 367, 371, 383, 407—415, 417—419, 421—426, 438, 442, 446, 449—451, 455, 466—469, 473, 490, 508, 525, 527, 534, 543, 545, 549, 559, 572, 595—597, 608, 632, 636].