Случайные величины. 
Разработка недетерминированных программных систем на основе вероятных автоматов

Для очень многих опытов недостает никаких различий в подсчете возможностей событий, тогда как элементарные исходы в данных опытах очень отличаются. Однако нас и должны занимать именно вероятности событий, а никак не структура пространства элементарных исходов. Поэтому во всех таких «похожих» опытах вместо самых различных элементарных исходов употребляют числа. То есть ввести соотношение между элементарными исходами и вещественными числами.

Пускай имеется случайный опыт и задано вероятностное пространство (Щ, Ш, Р).

Функция о: Щ >R называется случайной величиной, если для любого хR множество {о<�х}={щ: о (щ) < х} является событием, то есть принадлежит у-алгебре событий Ш.

Замечание. Можно смело полагать, будто хоть какое множество элементарных исходов есть явление, и, следовательно, случайная размер есть случайная функция из Щ в R. Никаких неприятностей на практике это обычно не влечет. [9].

Будем говорить, что функция о: Щ >R является Шизмеримой, если {щ: о (щ) < х} принадлежит Ш для любого х R.

Итак, случайная величина есть Ш — измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу щ Щ число о (щ) R.

Пример. Подбрасываем 1 раз кубик. Пусть Щ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, и две функции из Щ в заданы так:

о (щ)= щ, з (щ)= щ².

Если Ш есть множество всех подмножеств Щ, то о и з являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит Ш, в том числе и {щ: о (щ) < х} или {щ: з (щ) < х}. Можно записать соотношение между значениями случайных величин о и з возможностями воспринимать данные значения в виде «таблицы распределения возможностей» либо, коротко, «таблицы распределения» (таблицы 31, 32).

Таблица 31. Таблица распределения о.

Таблица 32. Таблица распределения з.

Здесь 1/6 = Р (о=1)=…= Р (о=6) = Р (з =1)= …= Р (з =36). Пусть у — алгебра событий Ш состоит всего из четырех множеств: Ш={Щ, {1,3,5},{2,4,6}}, то имеется событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного (поэтому, нечетного) количества очков. Убедимся, что при такой «бедной» у — алгебре ни о, ни з не являются случайными величинами, так как эти функции не Ш — измеримы. Возьмем х = 3,967. Видим, что {щ Щ: о (щ) < 3,967}= {1, 2, 3} Ш и {щ Щ: з (щ) < 3,967}= {1} Ш.

Теперь попробуем понять, зачем нужна Ш — измеримость и почему требуется, чтобы {щ: о (щ) < х} являлось событием. Если задана случайная величина о, нам может потребоваться вычислить вероятности типа Р (о=5)= Р{щ: о (щ)=5},.

Р (о[-3,7]),.

Р (о 3,2),.

Р (о > 0).