Основные математические понятия

Множества

Базовым понятием при работе с базами данных является понятие множества.

Множество — набор, совокупность, собрание каких-либо объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристическим свойством.

В этом определении следует остановиться на двух моментах.

Первое, на что мы хотим обратить внимание, то, что мы абстрагируемся от рассмотрения свойств элементов, из которых множество состоит. Каждый объект сам по себе может иметь разнообразные характеристики или свойства, но как элемент того или иного множества все объекты должны обладать обозначенными свойствами. В качестве примеров можно рассмотреть множество всех студентов или множество всех студентов, изучающих русский язык и т. п. Объектами этих множеств являются разнообразные люди (лица, персоны), просто в данном случае из многих характеристик, которыми обладают лица, интересуют лишь несколько характеристик (свойств), которые имеют соответствующие значения. Для обоих упомянутых множеств объектами являются личности, обладающие разнообразными свойствами, такими как цвет глаз, рост и вес, количество родственников, работает она (личность) или учится (а может быть одновременно и работает и учится); если учится, то на каком курсе, какие изучает дисциплины и еще много разнообразной информации, а если работает, то в какой должности, в каком подразделении и т. п. Разнообразных свойств каждый объект имеет достаточно много, но в зависимости от постановки задачи при ее решении мы ограничиваемся теми, которые прямо или косвенно в ней упомянуты. Поэтому в первом случае — множество всех студентов — мы забываем, не обращаем внимания на все характеристики, кроме одной: учится человек в институте или нет, а во втором — две характеристики, два свойства: учится ли он и при этом среди всех изучаемых им дисциплин должен быть русский язык.

С точки зрения теории множеств мы говорим, что некоторый объект а принадлежит множеству А (характеристики множества уже определены), если этот объект обладает указанными характеристиками и эти характеристики имеют соответствующие значения. Обозначается этот факт аА. При написании различных программ можно встретить эквивалентную запись: а in А. Если же некоторый объект b не обладает нужным свойством или это свойство не имеет соответствующего значения, то говорят, что b не принадлежит множеству А, что обозначается как bА (другие формы записи: not bА, not b in А, b not in А).

Может случиться, что множество не содержит ни одного элемента. В этом случае говорят, множество пусто и обозначают такое множество знаком. Иногда говорят в этом случае, что множество не существует (not exists), хотя интерпретировать это надо в том смысле, что множество не содержит ни одного элемента. Наоборот, множество существует, если в нем есть хотя бы один элемент.

Отметим также тот факт, что по определению множество не может содержать двух одинаковых элементов (мультимножества мы не рассматриваем).