Введение. 
Разработка алгоритма для численного решения обратной задачи теории фильтрации методом модулирующих функций

В данной работе нами предложен алгоритм (с численной реализацией) определения фильтрационных и ёмкостных параметров газоносного пласта на основе решения обратной задачи теории фильтрации. Для решения этой задачи применяется метод модулирующих функций (далее, М-метод).

Отметим, что идея применения М-метода для решения обратных задач восходит к работам Дж. Лоэба и Г. Кахена (J. Loeb, G. Cahen) [1, 2]. Возможность применения М-метода для решения задач нефтегазовой науки впервые была высказана В. Б. Георгиевским и им были разработаны унифицированные алгоритмы для решения обратных задач подземной гидрогазодинамики [3]. В работах [4,5] приведены некоторые способы программной реализации алгоритмов, предложенных в работе В. Б. Георгиевского [3]. В работе [6] сделана попытка обобщить М-метод на случай любой степени полиномов разложения неизвестных параметров газоносного пласта.

Решение обратной задачи теории фильтрации

В работе [7] рассмотрена следующая обратная задача теории фильтрации.

Дано нелинейное эволюционное уравнение параболического типа, описывающее процесс нестационарной фильтрации реального газа [8].

, (1).

с начально-граничными условиями.

, (2).

, , (3).

где, , .

Здесь — давление в точке пласта с координатами (x, y) в момент времени t, k (x, y) — коэффициент проницаемости пласта, m (x, y) — коэффициент пористости пласта, h (x, y) — эффективная толщина пласта, м (p) и z (p) — соответственно коэффициенты динамической вязкости и сверхсжимаемости газа при давлении p и пластовой температуре T_пл, б (x, y) — коэффициент газонасыщенности, — объемный расход газа, отнесенный к единице площади пласта в точке (x, y) в момент времени t, приведенный к атмосферному давлению p_ат и пластовой температуре T_пл. Далее, — это единичный оператор в случае первой краевой задачи; в случае второй краевой задачи — производная по внешней нормали к границе Г области; в случае третьей краевой задачи (, — известные функции). Отметим, что оператор в условии (3) может иметь и более сложную структуру. Требуется найти коэффициенты ,.

в уравнении (1) при условии что функции известны.

Введем в рассмотрение функцию от давления.

(4).

тогда уравнение (1) можно переписать так [7]:

(5).

где, .

Для нахождения коэффициентов и в (5) применяется М-метод. Разлагая коэффициенты и по формуле Тейлора.

(6).

(7).

после элементарных преобразований получим следующую систему алгебраических уравнений.

(),.

или в векторно-матричной форме.

. (8).

Здесь — матрица размера, элементами которой являются известные коэффициенты, , а — -мерный вектор неизвестных коэффициентов, .

Нетрудно установить, что при, число неизвестных и равно, соответственно, и, а общее число неизвестных равно. Вместо двойных индексов km мы иногда будем использовать одинарный индекс i (схема нумерации с помощью индекса i изображена на рис.1). Таким образом, индекс i будет обозначать номер столбца, а j — номер строки матрицы W.

С помощью индексов i, j элементы матрицы W и векторов и Y запишутся в виде:

, , ,.

(;).

Здесь знак T означает операцию транспонирования.

Числа, , определяются, соответственно, следующим образом:

(9).

(10).

(11).

где, (; ;). Для однозначного определения неизвестных, , необходимо иметь — уравнений, причем детерминант матрицы W линейной системы (8) должен быть отличен от нуля.

Для этого модулирующие функции выберем следующим образом:

,.

,.

,.

().(12).

Из формул (9) — (11) видно, что вопрос машинной реализации поставленной задачи сводится к вопросу численного интегрирования тройных интегралов.