Соглашение об языке этой книги

Соглашение А. Метаязыком будет служить русский язык с его алфавитом и синтаксисом. Кроме того, будут использоваться следующие символы:

• а) буквы латинского алфавита;
• б) буквы греческого алфавита;
• в) римские и арабские цифры: I, II,…, X, 0, 1, 2,…, 9;
• г) логические знаки: —i,—, v, =>,;
• д) специальные математические символы, значение и способ употребления которых будет оговариваться как для всех впервые вводимых определяемых, так и для некоторых общеизвестных. Иногда способ употребления символов и тем самым соответствующих понятий будем определять аксиомами.

Пример 1.1. Буква = читается «равно» и означает отношение равенства, которое определяется следующими свойствами-аксиомами равенства (эквивалентности):

• 1) а = а — рефлексивность равенства;
• 2) если а = Ь, тоиЬ = а- симметричность равенства;
• 3) если а = b и Ь = с, тогда а = с — транзитивность равенства.

Пример 1.2. Метаязыковый символ присваивания = будем использовать вместо фраз: равно по определению, равно с точностью до символа:

В некоторых, не вызывающих недоразумений, случаях знак дефиниции д над буквой = будем опускать: 2+1=3 (вместо 2 +1 = 3).

Пример 1.3. Буква п — единый символ — читается эн-факториал и определяется равенствами.

Пример 1.4. Символ V (перевернутая первая буква английского слова Any — любой, всякий, какой-нибудь) называется квантором общности и заменяет слова любой, всякий, каждый и фразы для любого, для всякого, для каждого.

Пример 1.5. Символ 3 (перевернутая первая буква английского слова Existence — существование, наличие) называется квантором существования и заменяет слова существует, имеется, найдется.

С помощью кванторов Vn 3 метаязыковая фраза lim f (x) = А запи;

х->а

сывается в формализованном виде так:

что означает: для всякого положительного г существует такое положительное 8, что для всех таких х, что выполняется неравенство 0< |*-д|.

< 8, справедливо неравенство | f (x)~ А | < 8.

Слова буква, символ, знак мы считаем синонимами без учета оттенков значений этих слов в русском языке.

В тексте (*) метаязыковый символ «:», означающий в первом случае такое и во втором случае — таких, можно заменить на две пары скобок — символы формализованного языка. Однако соглашение о том, что действие квантора /(з) может отменить лишь квантор 3(/), позволяет в тексте (*) опустить и двоеточие, и все круглые скобки. Но это затруднит понимание текста. Поскольку ниже у нас будет мало формализованное изложение, то множество символов изначально нами не фиксировано.

Соглашение В. Из букв алфавита по правилам грамматики русского языка и общепринятым правилам математики будем составлять слова и предложения.

Пример 1.6. х + 2 = у.

Пример 1.7. Из неравенств а>Ь и Ь> 0 следует неравенство a-b> b-b.

Пример 1.8. 2 > 3 — ложное высказывание.

Пример 1.9. q е М или М э q. Оба эти слова означают одно и то же: элемент q принадлежит множеству М, или множество М содержит элемент q. Здесь € - символ принадлежности, происходящий от первой буквы 8- эпсилон греческого слова ест — есть, быть.

Это второе соглашение В исключает из нашего рассмотрения слова, фразы и предложения, лишенные смысла. При этом концевую фразу лишенные смысла мы в надежде на интуицию читателя уточнять не будем.

Математические слова, фразы и предложения мы будем называть общим для них и для всех привычным термином выражение (см. п. 1.2. Определение аксиоматической теории). Уточнением этого понятия будет следующее ниже соглашение.

Соглашение С. Все буквы, входящие в выражение, мы будем делить на четыре типа.

1. Имена, т. е. символы, значение которых не меняется во всех выражениях, например:

+, sin, 0, 1,2,…, 9, n,-f, &, v, =>,, V, 3, (,), [,] ит. д.

• 2. Постоянные, т. е. символы, значения которых в выражении не меняются в некоторых, особо оговоренных или «по умолчанию» подразумеваемых, условиях. Например, слово Р_](х)=а₀ ?х + а_] определяет двучлен первой степени относительно буквы х с коэффициентами а" и а, являющимися постоянными для этого двучлена Р_х (х).
• 3. Переменные, точнее сказать, свободные переменные — символы, вместо которых в выражение можно ставить буквы-имена, множество которых для каждого выражения оговаривается или считается известным по умолчанию.

Пример 1.9. /(х), х е R.

Пример 1.10. Дх₀), feF={g:R 4/?}.

В первом примере/и во втором х₀ считаются по умолчанию постоянными. И наоборот, в первом примере вместо х можно ставить любое действительное число, а во втором примере/может быть любой функцией Я—"/?, что явно оговорено.

Так что, строго говоря, переменная в выражении — это всегда пара (х, X), где X есть множество, элементы которого можно ставить в выражение, содержащее символ х (см. Определение 3.7, с. 36). В такой трактовке становится очевидным следующий факт: х ? X, если (х, X) есть переменная (ср. [29, с. 106]).

Наконец, в некоторых ситуациях перемеппую (х, X) наделяют еще некоторым порядком ф в X, т. е. под переменной подразумевают тройку (х, X, ф), несколько подробнее об этом будем говорить ниже.

4. Связанные переменные образуют четвертый тип букв в выражениях и выделяются условием своего вхождения в выражение, лишающим смысла всякую замену переменной на символ-имя.

Замечание 1.1. В неформализованных математических текстах без явной оговорки принимается следующее соглашение: первые буквы алфавита (латинского, русского и др.) использовать для обозначения произвольных, но конкретных элементов множеств, т. е. постоянных. Последними же буквами алфавита обозначать «текущие» элементы множеств, т. с. переменные. Например, в выражении у-а^х, 0 <�а 1, буквой а обозначено какое-то определенное число, но вместо х можно ставить любое действительное число, т. е. х е (х, R) по нашему соглашению С. Однако обычно пишут х е R, что короче, но менее точно.

Пример 1.11. J f (х)dx={F (х): F'(x) = f (x), x e X c /?}.

В левую часть этого равенства бессмысленно ставить вместо х какое-либо а е X, т. к. х входит в | f{x)dx связанно. Но в равенство F'(x) = Jx) переменная х входит свободно, если Fx)^_=a 4 F'(a).

Пример 1.12. НтЛ (/), здесь t-связанная переменная.

/->0.

х

Пример 1.13. ^ J'(x)dx, х еХ, в этом примере, как и в Примере 1.11,.

о х входит и свободно, и связанно.

Пример 1.14. В предложения х² — а² =(х — а)? (х + а) и х + Ь = с переменная Л' входит свободно. Но в следующих предложениях с кванторами:

переменная х уже связана.

Обратите внимание на роль кванторов: первое условие утверждает не только правило разложения разности квадратов на линейные множители, но и справедливость его для всех х, а второе условие говорит о существовании решения уравнения х + Ь = с.

Пример 1.14 иллюстрирует не только значение и роль кванторов V и 3, но и силу их действия: если переменная попадает в область действия одного из кванторов, то эта переменная входит в выражение связанно.

Замечание 1.2. Поскольку выражение с переменной инвариантно относительно замены символа переменной (примите, читатель, это утверждение как аксиому), то мы будем стараться не допускать там, где это возможно, одновременно свободного и связанного вхождения переменной в одно и то же выражение. Так, Примеры 1.11 и 1.13 можно (см. Приложение В) записать, соответственно, следующим образом:

Последнее Соглашение D — семантическое соглашение. Из всех предложений, в том числе и состоящих из одного слова-выражения, мы будем выделять предложения-высказывания, в отношении которых можно ставить вопрос: истинны они или ложны. Не уточняя ответа на вечный вопрос «что есть истина?», мы вернемся к этой теме в следующей главе. А сейчас введем два понятия.

Выражение с переменной мы будем называть именной формой, если замена переменной на имя превращает данное выражение в имя.

Например, х + 3 при замене х на + 2 превращается в имя 2 + 3.

Выражение с переменной назовем высказывательной формой, если замена переменной на имя превращает это выражение в высказывание. Например, выражение х + 3 > 0 при замене х на — 4 превращается в ложное высказывание — 4 + 3 > 0.

Еще Примеры:

• 1.15. Быть или не быть?
• 1.16. Да здравствует солнце!
• 1.17. Квадратом называется ромб, имеющий прямой угол.
• 1.18. 2 <4а, 4а < 3, aeR.
• 1.19. х + 2, х е /?, х < 1.

Первые два предложения, как и все вопросительные и восклицательные, не составляют высказываний. Третье предложение вводит новое понятие — термин квадрат, и, как всякое определение, не может быть ни ложным, ни истинным. Пример 1.18 представляет собой высказывателъную форму. Если в нее вместо а вставить число из интервала (4, 9), то получим истинное высказывание, при иных действительных значениях а высказывание получится ложным. Наконец, последнее предложение дает пример именной формы. При каждом из явно указанных значений переменной х эта именная форма превращается в имя соответствующего действительного числа.

С использованием понятий (см. Определение 3.7) пары z = (х, у) и п-ки и = (Xj, х₂,…, х_п) понятия именной и высказывательной форм распространяются на выражения с двумя и с п переменными.

В математической логике имена и именные формы объединяют в одно множество — множество термов, а высказывания и высказывательные формы, соответственно, во множество формул. Более близкое знакомство с высказываниями — в следующей главе.

Вопросы Читателю

• 1. Каковы четыре соглашения, определяющие сущность аксиоматической теории? Нельзя ли уменьшить их количество?
• 2. Каковы составляющие формального языка?
• 3. На какие четыре типа делятся буквы математических выражений?
• 4. Может ли имя в выражении быть переменной ?
• 5. Что имеют общего и чем отличаются два следующие предложения:
• 1) если д <-3,то |д + 3| = 3 — д;
• 2) Уд е (оо,—з) |д + 3| = 3 — д.
• 6. Можно ли получить следствие из одной отдельно взятой аксиомы? Если Ваш ответ да, то приведите пример.