Теоремы и аксиомы

Логическая структура теоремы

Теорема — это истинное предложение, которое требует доказательства.

Наиболее часто встречаются теоремы, имеющие следующую логическую структуру:

У такой теоремы можно выделить следующие части.

• 1) Разъяснительная часть. Здесь указываются множества объектов, о которых говорится в теореме. Переменная z обозначает объекты из данных множеств. При этом переменная может обозначать один объект или несколько.
• 2) Условие теоремы (то, что дано) — предикат A (z).
• 3)

  Заключение

  теоремы (то, что требуется доказать) — предикат B (z).

В общем случае предикаты А и В могут иметь сложную структуру и являться, например, конъюнкцией или дизъюнкцией предложений.

При формулировке теоремы условие и разъяснительную часть часто объединяют в одно предложение, которое начинается со слова «пусть». Формулировку заключения начинают со слов «тогда», «в этом случае» и т. п.

Пример 4.1.1. Рассмотрим теорему Виета для приведенного квадратного уравнения.

«Пусть дано приведенное квадратное уравнение x²+px+q=0, которое имеет два действительных корня. Тогда произведение корней равно q, а сумма корней равна коэффициенту (-/?)».

Проведем анализ теоремы. В ней рассматриваются следующие объекты: приведенное квадратное уравнение (обозначим его буквой и) и два числа ДГ|, JC2;

Условие А (и, Х, дэ) = «*ь *2 — корни уравнения и».

Заключение

В (и, Х₉ Х2) = «Сумма чисел дг| и д₂ равна свободному члену уравнения и, а произведение этих чисел — коэффициенту при переменной х, взятому с противоположным знаком».

Для краткости формулировки в условии сразу указан общий вид приведенного квадратного уравнения. Это позволяет записать заключение, используя введенные обозначения коэффициентов уравнения.

Запишем теорему на языке формул:

Как видно из примера, при формулировке теоремы кванторные слова «для всякого объекта», как правило, опускают. Если теорема не слишком объемна, то ее часто формулируют по схеме «Если А, то В».

Пример 4.1.2. Сформулируем теорему Виета на языке «если, то».

«Если дг|, *2 — действительные корни уравнения x~+px+q=0, то ХуХг—д и х+х₂ = -р».

Отделив разъяснительную часть от импликации, теорему можно сформулировать так: «Пусть дано квадратное уравнение x²+px+q=0> где р и q- действительные числа. Если Хи *2 — действительные корни этого уравнения, то xyxi =q и Х+Х2 = -р». •

Итак, любую теорему вида Vz (A (z)—>B (z)) кратко можно сформулировать в одной из следующих форм.

• (1) «Пусть А, тогда В», или «Всегда, когда А, тогда В».
• (2) «Если А_у то В».

Предложение (1) называют категоричной формой теоремы, а предложение (2) -условной формой.

В примере 4.1.1 теорема Виета сформулирована в категоричной форме, а в примере 4.1.2 даны условные формулировки этой теоремы.

Пример 4.1.3. Рассмотрим одну из первых простых теорем школьного курса геометрии: «Вертикальные углы равны». Здесь приведена наиболее лаконичная формулировка теоремы. Именно такая формулировка встречается в некоторых школьных учебниках по геометрии.

Сформулируем теорему разными способами. Вначале выделим условие и заключение теоремы.

В качестве объектов рассматриваются произвольные пары углов, обозначим их а, р.

Условие: «Углы, а и Р вертикальные» -Л (а, Р).

Заключение

: «Углы аир равны» — #(а, Р).

Запишем логическую структуру теоремы:

Рассмотрим различные формулировки теоремы в категоричной форме:

• — «Любые два вертикальных угла равны».
• — «Любые два угла, являющиеся вертикальными, равны».
• — «Пусть углы аир вертикальные. Тогда они равны».

Условные формулировки теоремы:

• — «Если углы вертикальные, то они равны».
• — «Какие бы два угла мы ни взяли, если они вертикальные, то они равны». •

Наряду со схемой «Если, то» теорему можно формулировать на языке необходимых и достаточных условий, учитывая определения пункта 2.2.2.

Пример 4.1.4. Сформулируем теорему о вертикальных углах на языке необходимых и достаточных условий.

Так как равенство углов есть необходимое условие для того, чтобы углы были вертикальными, то теорему можно сформулировать гак: «Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны».

Аналогичным образом получаем следующую формулировку теоремы: «Для того чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными». •.

Для упрощения формулировки в случае, когда теорема содержит много ограничений, которые накладываются на объекты, участвующие в теореме, описание этих ограничений отделяют от условия А. Можно считать, что те предложения, в которых описываются рассматриваемые объекты и даются определенные ограничения, относятся к разъяснительной части. Обозначим конъюнкцию указанных предложений буквой М. Тогда логическую структуру теоремы можно выразить формулой:

Кратко указанную формулу можно прочитать так: «Пусть М. Тогда если А, то В».

Не учитывая квантор общности и предметную переменную, имеем формулу М->(А^>В). Разграничение условий Ми А позволяет формулировать теорему в более простом виде. Однако, при желании, предложения М и А можно объединить союзом «и» в одно предложение в силу равносильности формул М-+(А—>В) и (МлА)->В.

Таким образом, условие теоремы может быть выбрано неоднозначно. Это имеет свои плюсы и минусы. Недостаток заключается в том, что при построении обратного утверждения к теореме можно получить неравносильные предложения. Более подробно поговорим об этом ниже.

С другой стороны, применив правило контрапозиции к импликации Л—где А является простым предложением, можно переформулировать исходную теорему в виде М—>(«!#—?И). Применение данного правила к теореме (МлА)->В позволяет получить теорему ~В—«(1v/v~U), формулировка которой часто не представляет практического интереса.

Пример 4.1.5. Рассмотрим истинное предложение: «Любое целое положительное число больше либо равно 1». Введем обозначения:

М = «х — целое число»,.

А = «х- положительное число»,.

В =.

Так как логическое строение предложения выражается формулой Vjc ((МлА)—>В), по правилу контрапозиции оно равносильно следующему: «Любое число, меньшее 1, является не положительным или не целым». Такая формулировка неудобна в использовании.

Учитывая, что (МлА)->В = М—>(А—>В), сформулируем исходное предложение в виде: «Пусть х — целое число. Если х положительное, то оно больше либо равно 1». По правилу контрапозиции имеем следующую равносильную формулировку: «Любое целое число, меньшее 1, не является положительным». •.

Как видно из предыдущих примеров, квантор общности при формулировке часто опускают. Однако это можно делать только с внешним квантором общности. Дело в том, что кванторные слова могут входить и в условие, и в заключение теоремы. В этом случае отсутствие этих слов может вызывать неоднозначность в логическом понимании теоремы.

Пример 4.1.6. Рассмотрим теорему: «Каковы бы ни были прямая / и плоскость а, если прямая / перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, то / перпендикулярна плоскости а». Истинность этого предложения следует из определения перпендикулярности прямой и плоскости.

Эту теорему можно сформулировать, опустив внешний квантор общности: «Если прямая / перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости а, то / перпендикулярна плоскости а».

Условие теоремы: А = «Прямая / перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости а».

Заключение

: В = «Прямая / перпендикулярна плоскости а».

Как видим, в условии теоремы говорится о любой прямой, лежащей в плоскости а.

При опускании слова «любой» в условии получится предложение: «Если прямая / перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости а, то / перпендикулярна плоскости а». Это предложение напоминает такое: «Если прямая / перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в плоскости а, то / перпендикулярна плоскости а». Однако последнее высказывание ложно. Приведите соответствующий контрпример.

Итак, квантор, содержащийся в условии А, нужно произносить. Тогда при использовании правила контрапозиции, строя отрицание к А, данный квантор сменится на квантор существования: «Если прямая / не перпендикулярна плоскости а, то прямая / не перпендикулярна хотя бы одной прямой, лежащей в плоскости а». •.