Элементы квантовой статистики

Квантовая статистика описывает системы, состоящие из большого числа частиц. Как известно (например, из молекулярно-кинетической теории), энергия таких систем складывается из кинетической энергии движения частиц и потенциальной энергии их взаимодействия. Первую рассчитать просто, она выражается через температуру системы; вторую же — очень сложно. Поэтому система тем проще для описания, чем слабее взаимодействуют ее элементы. Примером может служить идеальный газ, теорию которого можно изучать даже в школьном курсе физики.

Следовательно, при описании очень сложной системы ее стремятся ‘‘мысленно дробить" на такие элементы, которые взаимодействуют как можно слабее. Например, твердое тело гораздо удобнее описывать как систему слабовзаимодействующих квазичастиц (фононов), чем как систему сильно взаимодействующих реальных атомов.

Тождественность частиц и обменное взаимодействие.

Частицы одного типа с одинаковыми характеристиками неразличимы, тождественны. На частице, в отличие от макроскопического тела, в принципе нельзя поставить метку, выделяющую ее среди других частиц того же типа. Поэтому при перемене мест (состояний) двух одинаковых частиц наблюдаемые свойства системы меняться не должны. Например, если в атоме поменять местами электрон в состоянии s с электроном в состоянии 2р, атом совершенно не изменится. Это накладывает определенные условия на волновую функцию системы многих частиц и ведет к появлению между ними специфического чисто квантового взаимодействия — обменного.

Волновая функция системы слабо взаимодействующих одинаковых частиц.

Если частицы, входящие в систему, взаимодействуют слабо, волновая функция системы мультипликативна, т. е. строится в виде произведения волновых функций отдельных частиц. Рассмотрим, например, простейшую систему двух частиц. Ее волновую функцию можно взять в виде.

где а — совокупность квантовых чисел, однозначно определяющих состояние частицы 1, b — то же самое для частицы 2. Однако тождественность частиц требует, чтобы ничего не менялось при замене одной частицы на другую, т. е.

Наблюдаемые на опыте физические величины определяет вероятность W ~ у² (раздел 7.3.1), поэтому возможны два варианта: волновая функция системы симметрична при перестановке частиц.

и волновая функция антисимметрична при перестановке частиц