Строение атома. 
Электромагнетизм, оптика, квантовая физика

Атом водорода в квантовой механике

Атом водорода состоит из ''массивного" положительно заряженного ядра и движущегося вокруг него ''легкого" отрицательно заряженного электрона (рис. 21.1). Электрон — это микроскопическая частица, ''уследить" за движением которой не представляется возможным. Другими словами, нельзя описать движение электрона посредством зависимости его радиус-вектора от времени. В квантовой механике движение частицы описывают при помощи волновой функции, которая определяет вероятность обнаружить частицу в том или ином месте пространства.

Если частица движется в пространстве, то описывающая ее движение волновая функция будет зависеть в общем случае от времени и координат:

Эту функцию можно найти из уравнения Ш редин гера.

Рис. 21.1.

Электрон в атоме водорода

где.

— оператор Лапласа, U® — потенциальная энергия частицы.

Ядром в атоме водорода является протон, заряд которого равен +е. Так как заряд электрона равен — е, потенциальная энергия электрона в атоме водорода выражается формулой.

где расстояние от ядра до электрона.

По определению волновая функция, описывающая стационарное состояние электрона, имеет вид.

где функция <�р (г) есть решение стационарного уравнения Шредингера.

где Е — энергия электрона в стационарном состоянии.

Функции, являющиеся решениями этого уравнения образуют счетное множество. Каждой из них присваивается трехзначный номер nlm:

Число п принимает значения 1, 2, 3, … и называется главным квантовым числом. Для заданного значения п число /, называемое орбитальным, принимает одно из п значений 0, 1,2, …, п — 1. Наконец, магнитное квантовое число т принимает значения —/, —/+1, — 1, 0, 1, 2, /— 1,.

/. Всего при заданном значении / число т принимает 2/ -f 1 значение.

Квантовые числа п, / и т имеют следующий физический смысл. Главное квантовое число п определяет возможные значения энергии электрона в атоме водорода:

где Орбитальное квантовое число / дает возможность вычислить модуль L вектора L момента импульса электрона:

где Проекция вектора L момента импульса электрона на заданное направление z в пространстве определяется формулой.

где магнитное квантовое число т принимает значения:

Задача. Основное состояние электрона в атоме водорода описывается функцией.

где А и, а — постоянные величины. При помощи уравнения (21.4) найти постоянную а и энергию частицы Е в этом состоянии. Найти постоянную А из условия нормировки.

Ответы:

где — первый боровский радиус;

Про функции <^_п/т (г) говорят, что они описывают «электронные облака». Точнее говоря, они определяют распределение в пространстве плотности вероятности:

Электронное облако — это часть пространства, где плотность вероятности w_ni_m принимает наибольшие значения. Поэтому вероятность обнаружить электрон в этой части пространства, т. е. внутри облака, почти равна единице; а вероятность обнаружить его вне облака практически равна нулю. Электронные облака в атоме имеют сложную форму и окружают ядро слоями.

При / = 0 (в этом случае число т также равно нулю) электронное облако имеет сферически симметричную форму, т. е. плотность вероятности w_noo является сферически симметричной функцией.

зависящей только от расстояния г от электрона до ядра. По определению произведение плотности вероятности на объем некоторой части пространства есть вероятность обнаружить здесь рассматриваемую частицу. Внутри тонкого сферического слоя радиуса г и толщины dr плотность вероятности w_nоо во всех точках практически одинакова. Объем сферического слоя равен 47гг²dr. Поэтому выражение.

есть вероятность того, что расстояние от электрона до ядра принимает значение из интервала (г, гf- dr).

Рис. 21.2. Плотность вероятности /_п(г) обнаружить электрон на расстоянии г от ядра.

Задача. Электронное облако, которое представляет электрон, находящийся в основном состоянии в атоме водорода, описывается функцией.

где^мо (г) есть функция (21.9). Значение г_вер расстояния г, при котором функция /_п(г) достигает наибольшего значения, называется наиболее вероятным расстоянием от электрона до ядра. Доказать, что для электрона в основном состоянии наиболее вероятное расстояние до ядра равно радиусу первой боровской орбиты: г_вер = г#.

Графики функции.

при n = 1 и 2 показаны на рис. 21.2. Функция /i® принимает наибольшее значение при г = гд, а функция /2(г) — при г = 4 г в- Можно показать, что наиболее вероятное расстояние от электрона, находящегося в стационарном состоянии у?_п0о, до ядра равно радиусу n-ой боровской орбиты:

Так как энергия электрона в атоме водорода зависит только от главного квантового числа п, каждому значению энергии Е_п соответствует несколько различных состояний. Такие состояния называются «вырожденными», а их число д_п называется кратностью вырождения данного энергетического уровня.