Экспоненциальное (показательное) распределение

Рассмотрим семейство распределений, широко используемое при принятии управленческих решений и других прикладных исследованиях — семейство экспоненциальных распределений. Проанализируем вероятностную! модель, приводящую к таким распределениям. Для этого рассмотрим «поток событий», т. е. последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: время безотказной работы компьютерной системы, интервал между последовательными поступлениями автомобилей к стон-линии перекрестка, поток обращений клиентов в отделение банка; поток покупателей, обращающихся за товарами и услугами; поток вызовов на телефонной станции; поток отказов оборудования в технологической цепочке и т. д.

В теории потоков событий справедлива теорема суммировании потоков событий. Суммарный поток состоит из большого количества независимых частных потоков, ни один из которых не оказывает преобладающего влияния на суммарный поток. Так, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, состоит из большого числа независимых потоков вызовов, исходящих от отдельных абонентов. В случае, когда характеристики потоков не зависят от времени, суммарный поток полностью описывается одним числом X — интенсивностью потока. Для суммарного потока функция распределения случайной величины X — длины промежутка времени между последовательными событиями имеет следующий вид:

Это распределение называется экспоненциальным (показательным) распределением. В данную функцию иногда вводят параметр сдвига с.

Экспоненциальное распределение имеет только один параметр, который и определяет его характеристики. Плотность распределения имеет следующий вид:

где X — постоянная положительная величина.

График функции /(х) представлен на рис. 9.12.

Рис. 9.12. График функции экспоненциального распределения.

На рис. 9.13 представлен график плотности экспоненциального распределения при разных параметрах X.

Экспоненциальное распределение характеризует распределение времени между независимыми событиям, появляющимися с постоянной интенсивностью. Экспоненциальный закон характерен для распределения случайных величин, изменение которых обусловлено влиянием какого-то доминирующего фактора. В теории надежности это распределение описывает распределение внезапных отказов, так как последние являются редкими событиями. Экспоненциальное распределение служит также для описания.

Рис. 9.13. Плотность экспоненциального распределения при разных параметрах X.

наработки сложных систем, прошедших период приработки, и для описания времени безотказной работы системы с большим числом последовательно соединенных элементов, каждый из которых не оказывает большого влияния на отказ системы.

Теоретические частоты для экспоненциального закона распределения определяют по формуле.

где N — объем совокупности; 1г_к — длина интервала; е — основание натурального логарифма; X — условные отклонения середин классов:

Рассмотрим выравнивание эмпирического распределения (табл. 9.4) по экспоненциальному закону.

Таблица 9.4

Эмпирические частоты для выравнивания распределения по экспоненциальному закону.

Окончание табл. 9.4

Имеем N = 160; Ь_к = 41; х = 54,59. Расчет величин условных отклонений середин классов, вспомогательных величин е^_1 и теоретических частот произведен в табл. 9.5.

Таблица 95

Выравнивание эмпирических частот по экспоненциальному закону

Эмпирические данные, х	Эмпирическая частота, т	>-•. и. нн	е л	Теоретические частоты.
					т!
		4,69.	0,0092.	1,104.
		3,94.	0,0195.	2,340.
		3,19.	0,0413.	4,960.
		2,44.	0,0875.	10,512.
		1,69.	0,1854.	22,277.
		0,93.	0,3929.	47,213.
		0,18.	0,8326.	100,058.
Всего.				188,464.

Эмпирические и теоретические частоты экспоненциального распределения изобразим графически на рис. 9.14.

Показательное распределение представляет собой частный случай распределения Вейбулла — Гнеденко (соответствующий значению параметра формы b = 1).