Критериальный язык описания выбора

Сложилось несколько языков описания выбора. Самый простой — критериальный язык. Считается, что каждую альтернативу можно оценить конкретным числом (значением критерия) и сравнение альтернатив сводится к сравнению соответствующих им чисел. Пусть х — некоторая альтернатива из множества Х. Считается, что для всех хХ может быть задана функция q (х), которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функцией полезности) и обладает тем свойством, что если альтернатива х₁ предпочтительнее альтернативы х₂, то q (х₁)>q (х₂) и обратно.

Выбор как максимизация критерия. Если считать, что выбор осуществляется в условиях определенности и заданный критерий q (х) численно выражает оценку последствий этого выбора, то наилучшей альтернативой х^* является та, которая обладает наибольшим значением критерия.

На практике оценивание любого варианта единственным числом обычно оказывается неприемлемым упрощением. Полное рассмотрение альтернатив приводит к необходимости оценивать их не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. Даже в обыденной жизни при выборе мы почти никогда не используем единственный критерий.

Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев q_i(x), i=1,2,…p. Теоретически возможно, что на множестве Х окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями всех р критериев. Однако, на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществить выбор?

Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной. Рассмотрим наиболее употребительные способы решения многокритериальных задач. Первый способ состоит в том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение суперкритерия, т. е. скалярной функции векторного аргумента:

q₀(x)=q₀(q₁(x), q₂(x), …, q_p(x)).

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине q₀, выделив тем самым наилучшую в смысле этого критерия. Вид функции q₀ определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий; обычно используют аддитивные или мультипликативные функции:

;

.

Коэффициенты s_i обеспечивают, во-первых, приведение каждого числа к безразмерному виду и, во-вторых, если это необходимо, выполнение условия.

.

Коэффициенты _i и _i — отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий.

Итак, при данном способе задача сводится к максимизации суперкритерия Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один сопровождаются рядом недостатков. Главный недостаток заключается в произвольности выбора весовых коэффициентов _i и _i и, соответственно, произволу получаемому при максимизации. Кроме этого, недостаток одного частного критерия может быть скомпенсирован избыточным значением другого, что часто оказывается неприемлемым.

Другой вариант поиска альтернативы, частично свободный от недостатков предыдущего варианта, дает максимизация минимального критерия:

.

что означает подтягивание самого отстающего.

Условная оптимизация. Недостатки свертывания нескольких критериев заставляют искать другие подходы к решению задач многокритериального выбора. Рассмотрим другой метод решения таких задач. Он состоит в том, что выделяется один, главный критерий, а остальные рассматриваются как ограничения. Тогда задача выбора формулируется как задача нахождения условного экстремума основного критерия.

В некоторых задачах оказывается возможным или даже необходимым задавать ограничения на сопутствующие критерии не так жестко, тогда q_i(x)c_i.

Метод уступок. Иную постановку дает метод уступок. Пусть частные критерии упорядочены в порядке убывания их важности. Возьмем первый из них и найдем лучшую по этому критерию альтернативу. Затем определим «уступку» q₁, то есть величину, на которую мы согласны уменьшить значение самого важного критерия, чтобы за счет уступки попытаться увеличить, насколько возможно, значение следующего по важности критерия и т. д.

Нахождение паретовского множества. Еще один способ многокритериального выбора состоит в отказе от выделения единственной «наилучшей» альтернативы и соглашении о том, что предпочтение одной альтернативе перед другой можно отдавать, только если первая по всем критериям лучше второй. Если же предпочтение хотя бы по одному критерию расходится с предпочтением по другому, то такие альтернативы признаются несравнимыми. В результате попарного сравнения альтернатив все худшие по всем критериям альтернативы отбрасываются, а все оставшиеся несравнимые между собой (недоминируемые) принимаются. Если все максимально достижимые значения частных критериев не относятся к одной и той же альтернативе, то принятые альтернативы образуют множество Парето и выбор на этом заканчивается.