Метод Ньютона. 
Химическая технология: научные основы процессов ректификации. 
Часть 2

Суть метода заключается в том, что исходную систему нелинейных уравнений главы 10 (10.32) — (10.35) линеаризуют и итерационно решают относительно вектора приращений независимых переменных Ах. Новые значения искомых составов жидкости на тарелках определяют из выражения.

где x^rj — вектор состава жидкости на у'-й тарелке; Ах — вектор приращений по составам; г-номер итерации.

Линеаризация касается системы уравнений покомпонентного баланса (10.33), которая может быть представлена в виде.

и проводится с помощью разложения нелинейной функции невязки Rj, i (Xj) в ряд Тейлора:

В матричном виде или.

Таким образом, первоначально заданные составы жидкости Xjj итерационно уточняют по уравнению (5.37). Расчет заканчивают при выполнении условий:

{AXjj < е, 1 < / < А/ - число компонентов.

Rjj <�е₂, 1 < у < N — число тарелок Алгоритм расчета ректификационной колонны по методу Ньютона-Рафсона состоит в следующем:

• 1. Задают начальные приближения составов жидкости на всех тарелках (включая куб колонны) Xjj, температур 7}, составы Zjj и количества питаний Fj, а также величины боковых отборов Sj и Sj без учета химической реакции (рис. 10.5).
• 2. Определяют состав паровой фазы уц и температуру 7} на всех тарелках колонны.
• 3. Величины парового Vj и жидкого Lj потоков, покидающих тарелки колонны, уточняют из уравнений теплового баланса (10.38) и общего материального баланса (10.35).
• 4. Полученные значения потоков и составов на тарелках колонны подставляют в уравнения покомпонентного баланса (5.38) и вычисляют величины невязок Rj;_t.
• 5. Находят величины приращений по искомым переменным ДXj_ti, используя линеаризацию (5.39).
• 6. Вычисляют новые значения искомых переменных х^г*' по уравнению (5.37).
• 7. Осуществляют проверку условий Rj, и AXjj для всех 1 < / < М и

Если указанные условия выполняются, то расчет заканчивают. В противном случае расчет продолжают с п. 2.

Метод дает быструю сходимость к решению (6−15 операций), но требует достаточно хорошее начальное приближение. При неудачном начальном приближении составов жидкости на тарелках сходимость может быть не достигнута.