Нормальное распределение.
Теория вероятностей
Покажем, что вероятностный смысл этих параметров: есть математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение нормального распределения. В этом выражении первый интеграл равен нулю, т.к. под знаком интеграла нечетная функция. Второе из слагаемых равна, т.к. интеграл Пуассона. Для интегрирования вводим новую переменную Отсюда Новые пределы интегрирования остаются равными старым. Получим… Читать ещё >
Нормальное распределение. Теория вероятностей (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью.
Видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: и .
Покажем, что вероятностный смысл этих параметров: есть математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение нормального распределения.
а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,.
Для интегрирования вводим новую переменную Отсюда Новые пределы интегрирования остаются равными старым. Получим.
В этом выражении первый интеграл равен нулю, т.к. под знаком интеграла нечетная функция. Второе из слагаемых равна , т.к. интеграл Пуассона.
.
Следовательно, .
Математическое ожидание нормального распределения равно параметру распределения .
б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что, имеем.
Введем новую переменную.
Отсюда При этом пределы интегрирования не меняются и получим.
Интегрируя по частям, положив Найдем.
Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равна параметру распределения.
Замечание. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами и .
— нормированная нормальная величина, причем Плотность нормированного распределения.
Эта функция табулирована и приводится в приложениях учебников.