Состоятельность. 
Теория вероятностей и математическая статистика

В-третьих, желательно, чтобы оценка сходилась к оцениваемому параметру с вероятностью, стремящейся к единице по мере увеличения размера выборки, то есть для любого ? > О.

Если выполнено условие (8.14), то оценка называется состоятельной. Из неравенства Чебышева следует, что достаточным для выполнения (8.14) является условие:

В качестве примера «хорошей оценки» рассмотрим оценку среднего значения (8.6). Математическое ожидание выборочного среднего х равно:

Следовательно, согласно (8.12), оценка т_х = х — несмещенная.

Срсднсквадратичсская ошибка выборочного среднего х равна:

Поскольку наблюдения Xj независимы, то математическое ожидание членов, содержащих смешанные произведения, равны нулю. Поэтому из (8.17) получим:

Таким образом, согласно (8.15) оценка т_х = х — состоятельная. Можно показать, что эта оценка эффективна.

Рассмотрим оценку дисперсии по формуле (8.7).

Однако.

Поскольку М (х, -m_v)² = <�т² и М (x-w_v.)² = п, то, подставив в (8.20), получим:

2 2.

Следовательно, оценка (J_x=Sj_}— смещенная.

Хотя оценка (выборочная дисперсия) S? и является смещенной, она состоятельна и эффективна. Из (8.21) понятно, что для получения несмещенной оценки следует взять несколько видоизмененную выборочную дисперсию (8.8).