Производные логические операции

К производным логическим операциям относятся операции исключающего или, импликации, эквивалентности. Они могут применяться при составлении логических выражений, но при дальнейшем анализе выражаются с помощью основных логических операций.

Исключающее ИЛИ Операция исключающего ИЛИ похожа на обычную дизъюнкцию. Ее обозначают как АВ или А€В. Операция задается следующей таблицей истинности: Как видно из таблицы, отличие исключающего ИЛИ от дизъюнкции заключается в том, что полученное выражение будет ложным, если истинны оба исходных выражения, а не только одно из них.

Высказывание вида АВ в логическом выражении можно заменить на А? В?В?А.

Операция импликации.

Бинарная операция импликации выражается связками если…, то, из … следует, влечет. Операция записывается как А>В или A=>B и задается следующей таблицей истинности:

В импликации, А называется посылкой, а В?—?следствием. Выражение, образованное импликацией, ложно только в том случае, когда посылка истинна, а следствие ложно. При ложной посылке состояние следствия может быть каким угодно.

Высказывание вида А>В в логическом выражении можно заменить на А? В, при этом оно останется тождественно исходному, то есть будет истинно или ложно ровно в тех же самых случаях, что и оригинальное.

Операция эквивалентности.

Данная операция выражается связками тогда и только тогда, необходимо и достаточно, равносильно. Операция имеет следующие обозначения: А? В, АВ, А==В. Таблица истинности выглядит так:

Выражение, образованное эквивалентностью, истинно, если истинность обоих операндов совпадает.

Эквивалентность можно заменить на две импликации, а те, в свою очередь, раскрыть по правилам, указанным выше. Получится, что высказывание вида А? В можно заменить на А? В?А?В.