Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите расстояние от точки до прямой:

.

Решение.

Первый способ.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендикулярно заданной прямой:

Найдем координаты точки H₁ — точки пересечения плоскости и заданной прямой. Для этого выполним переход от канонических уравнений прямой к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:

после чего решим систему линейных уравнений:

методом Крамера:

Таким образом, .

Осталось вычислить требуемое расстояние от точки до прямой как расстояние между точками и :

.

Второй способ.

Числа, стоящие в знаменателях дробей в канонических уравнениях прямой, представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора этой прямой, то есть, — направляющий вектор прямой:

.

Вычислим его длину:

.

Очевидно, что прямая:

проходит через точку, тогда вектор с началом в точке и концом в точке есть. Найдем векторное произведение векторов и :

тогда длина этого векторного произведения равна:

.

Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы воспользоваться формулой для вычисления расстояния от заданной точки до заданной плоскости:

.

Ответ:

перпендикуляр декартовый плоскость.