Вспомогательная функция и её основные свойства

При доказательстве теоремы Римана мы воспользуемся простой вспомогательной функцией, которая конформно отображает дважды покрытый единичный круг с точкой разветвления вне его центра на простой единичный круг.

Фиг. 139.

Чтобы определить эту вспомогательную функцию, вообразим себе единичный круг плоскости t с разрезом, идущим от точки Р, расстояние которой от нулевой точки равно р (;а<^1), к границе этого круга; пусть два друг на друге лежащих экземпляра такого круга обычным способом соединены друг с другом вдоль разреза (фиг. 139). Допустим, что функция

конформно отображает этот дважды покрытый круг плоскости t на единичный круг плоскости т так, что при этом для одного листа выполняются условия:

Нет необходимости давать для этой функции явное аналитическое выражение. Заметим только, что мы можем её построить, если сперва с помощью линейного преобразования единичный круг переведём сам в себя так, чтобы точка разветвления Р перешла в начало координат, затем образуем квадратный корень из полученной линейной функции и, наконец, посредством нового линейного преобразования достигнем заданного соответствия линейных элементов в нулевых точках. Обратная функция для функции т = <�р (I) — обозначим её через /=ф (т) — будет однозначной и голоморфной в единичном круге.

Так как ф (0) = 0, то, очевидно, в круге |т|<:1 есть также голоморфная функция. Заметив, что |^"| на окружности |т| = 1.

имеет значение, равное всё время единице, мы убеждаемся по принципу максимума модуля аналитической функции (гл. V, § 2, п. 5) в справедливости неравенства для внутренних точек т, |т|<^1:

где точно имеет место знак <^, потому что функция не есть постоянное. (То же заключение мы получили бы, воспользовавшись леммой Шварца (§ 3, п. 2) для функции ф (т).).

Итак, мы доказали: между переменными /их всегда существует неравенство: |т|^>|/|, если |*|<^1, или, точнее говоря, для всех значений /, для которых | /1 ^ jx, имеет место неравенство | т | ^г^(д)111, где д (}1) обозначает число, большее единицы, зависящее только от р.

Легко видеть, что #(р) является непрерывной функцией от р, р<�М, сохраняющей значения ббльшие, чем единица.

В силу доказанного свойства функции т = ф (/) вытекает: если в единичном круге плоскости t лежит область G, которая содержит внутренность круга радиуса р, р^рр. При этом нулевая точка и направление положительной действительной оси остаются неизменными.