Вынужденные колебания точки

Рассмотрим движение точки (рис. 9) под действием восстанавливающей и некоторой периодической силы: F = F0• sin (щt), сопротивление среды не учитываем.

Колебания точки под действием этих сил называются вынужденными. Уравнение движения точки в этом случае имеет вид:

Разделив на массу и обозначив, получим уравнение вынужденных колебаний точки без учета сопротивления среды:

Уравнение (23) является неоднородным. Его общее решение x = x1 + x2, где: — общее решение соответствующего однородного уравнения; x2 — частное решение уравнения (23). Частное решение ищем в виде Подставив это решение в уравнение (23), найдем А амплитуду вынужденных колебаний:

.

Общее решение уравнения (23):

.

Постоянные интегрирования С1 и С2 можно найти из начальных условий:

при. Коэффициент — называется коэффициентом динамичности (рис. 10) и показывает, во сколько раз амплитуда.

вынужденных колебаний больше статического смещения точки под действием силы F0.

Резонанс

Резонансом называется явление, возникающее в случае, когда частота свободных колебаний — k, совпадает с частотой возмущающей силы — щ. В этом случае коэффициент динамичности — з =, и функция (24) уже не является решением уравнения (23), так как амплитуда вынужденных колебаний равна бесконечности. Уравнение движения точки в этом случае имеет вид (p = k = щ):

Наибольший интерес представляет частное решение уравнения (25), соответствующее вынужденным колебаниям, поскольку свободные колебания быстро затухают, даже при наличии малого сопротивления среды. Частное решение уравнения (25) ищем в виде. Взяв от x2 вторую производную по времени, найдем. подставив и в (25), получим:

.

Два последних слагаемых в левой части равенства взаимно уничтожаются. Тогда, приравняв коэффициенты при, находим. В результате частное решение уравнения (25), описывающее вынужденные колебания при резонансе, примет вид. График этой функции показан на рис. 11.

Из рисунка видно, что амплитуда колебаний точки при резонансе нарастает с течением времени. Поэтому если рабочая частота выше собственной частоты колебаний, то стараются достичь ее как можно быстрее, чтобы при переходе через резонансную частоту не успели развиться, слишком большие колебания.