Метод Вегстейна. 
Скалярная задача о неподвижной точке

При выводе метода Вегстейна решения задачи о неподвижной точке (2) используют как аналитические, так и геометрические соображения.

Пусть уже найдены: — элемент строящейся последовательности, и — точка, соответствующая одному шагу МПИ, применённого в точке. Независимо от того, сходится начатый с МПИ или расходится, отрезок АВ, параллельный оси Ох и имеющий концами точки и, можно разделить точкой С так, чтобы она принадлежала вертикальной прямой .

При любых комбинациях направлений возрастания и выпуклости графика функции в окрестности неподвижной точки длины отрезков ВС и РС равны. Различаются два случая: когда и когда .

По формуле Лагранжа получим:

(21).

(22).

Можно утверждать, что существует точка такая что.

(23).

Разрешая уравнение относительно, получим.

(у) (24).

Если бы значение было известно, то тем самым задача о неподвижной точке была бы решена точно. Заменим это неизвестное значение аппроксимирующим его разностным отношением:

(25).

Подставляя приближённое значение в (у) вместо корня получаем приближение к нему.

— ф-ла Вегстейна (26).

Эта итерационная формула, где k=1,2,3,…, совместно с формулой.

(k=0,1,2,…).

и начальными значениями полностью определяет метод Вегстейна для задачи о неподвижной точке.

Значение, получаемое по формуле Вегстейна при заданных начальных значениях и, совпадает со значением, вычисляемымпроцессом Эйткена. В случаях, когда, можно заканчивать процесс вычислений. Выполняется, при условии (27).

Алгоритм Вегстейна

Шаг 0.

Ввод (начальное приближение), (исходную функцию), q (оценку модуля производной), (допустимую абсолютную погрешность) Шаг 1.

Вычислить, положить.

Шаг 2. Вычислить.

Шаг 3. Проверить на точность: если, то вычислить; переприсвоить значения и вернуться к шагу 2.

Шаг 4. Положить.

Проверку на точность в таком алгоритме можно взять другую (что просто необходимо, если метод Вегстейна применяется в случаях, когда .

Если нет угрозы большой потери точности из-за вычитания близких чисел, о заканчивать работу алгоритма Вегстейна лучше выводом значения. Для вычисления значения в этом алгоритме применена равносильная формула, имеющая несколько отличную от формулы Вегстейна структуру[2].