Тень конического тела

Задача 1.

Построить собственные и падающие тени конического тела на плоскости проекций H и V.

Обычно построение падающих теней начинается с определения контура собственных теней. Но в отдельных случаях выгоднее поступить наоборот.

Рис. 33. Построение теней на поверхности конуса

Определим падающую тень вершины конуса — точку kТ'. Из множества световых лучей, падающих на боковую поверхность конуса, можно выделить два подмножества, образующих лучевые плоскости общего положения, проходящие через вершину K (k, k') и касающиеся окружности основания.

Если мысленно отбросить плоскость V, то падающая тень конического тела окажется на плоскости H. Поскольку на ней находится основание конуса, можно отметить, что 1 = 1 Т и 2 = 2 Т.

Проведя через точку kТ (ф) касательные к окружности основания (их построение показано на рис. 33 справа), получим падающие тени двух образующих конуса, которые входят в состав контура собственной тени тела.

Рис. 34. Наглядное изображение контура собственной тени конуса

Полный контур собственной тени в наглядном виде представлен на рис. 34.

Задача 2.

Определить тень точки, А на поверхности конического тела.

Покажем различные варианты достижения желаемого результата и воспользуемся графическим условием предыдущей задачи.

Применим метод обратных лучей, для реализации которого следует построить падающие тени двух объектов: точки A (a, a') и конуса на обе плоскости проекций. Через точку аТ проведем падающую тень той образующей, которая содержит эту точку. Затем найдем горизонтальную проекцию этой образующей, на которой с помощью горизонтальной проекции обратного луча определим точку аОТ, а с помощью фронтальной — аОТ'.

Другой вариант решения задачи заключается в использовании известного алгоритма нахождения точки пересечения прямой с поверхностью:

1. через световой луч, содержащий точку A (a, a') и вершину K (k, k') конуса, проведем плоскость общего положения (на рис. 35 она задана двумя пересекающимися прямыми);

Рис. 35. Второй вариант решения задачи 6

• 2. определим линию пересечения проведенной плоскости с конической поверхностью (поскольку вспомогательная плоскость проходит через вершину конуса, результатом пересечения будут две образующие);
• 3. найдем точку пересечения светового луча с построенными образующими — искомую точку.

Заметим, что луч и две образующие пересекутся в двух точках, но только одна из них является действительной тенью точки A (a, a'), которая расположена перед главным меридианом конической поверхности (мнимая тень точки на эпюре не показана). Во избежание лишних построений найдены только фронтальные проекции образующих.

Возможный вариант решения задачи методом секущих плоскостей нецелесообразен, т.к. требует построения кривых второго порядка, что приведет лишь к приближенному решению поставленной задачи.

Задача 3.

Построить тень отрезка [AB] на поверхности конуса методом секущих плоскостей.

Рис. 36. Тень столба на поверхности конуса

Заключим отрезок [AB] в горизонтально-проецирующую плоскость P, параллельную направлению светового потока. Поскольку проведенная плоскость параллельна двум образующим конуса (на рис. 36 на горизонтальной проекции они показаны точечными линиями), она пересечет его по гиперболе.

Для ее построения поступим следующим образом. Ввиду того, что гипербола расположена в плоскости P, ее горизонтальная проекция на чертеже отображается отрезком [34]. Фронтальной проекцией гиперболы также будет гипербола (только с другими параметрами).

Любая лекальная кривая строится по множеству точек. Вначале определим характерные наинизшие точки (3, 3') и (4, 4'). Горизонтальную проекцию 1 наивысшей точки найдем на середине отрезка [34], а для построения ее фронтальной проекции 1' проведем параллель на конической поверхности, касательную к плоскости P. Еще одна характерная точка (2, 2') расположена на главном меридиане, плоскость которого параллельна V. Между характерными точками намечаем случайные, горизонтальные проекции которых лежат на следе PH. Этим точкам обеспечиваем принадлежность конической поверхности с помощью параллелей. Построив множество точек, соединяем их плавной кривой с учетом видимости непрозрачного тела. Часть гиперболы, заключенная между точками (3, 3') и (аОТ, аОТ'), будет искомой тенью отрезка [AB] на поверхности конического тела.