Уравнения, содержащие выражения вида

Пример 5. Решить уравнения.

Решение. a) ОДЗ уравнения определяется из системы.

x + 2 > 0,.

x + 2? 1.

Получим множество x? (-2;-1)?(-1;+?). В ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому, логарифмируя обе части уравнения (например, по основанию 2), получим равносильное уравнение или, используя свойства P4 и P2,.

log₂(x + 2)· log₂(x + 2) = log₂4 + log₂(x + 2).

Обозначив log₂(x + 2) = t, получим квадратное уравнение.

t² — t — 2 = 0.

решениями которого являются t₁ = -1 и t₂ = 2. Следовательно,.

log2(x + 2) = -1,.

log2(x + 2) = 2,.

откуда.

x + 2 = 1/2,.

x + 2 = 4.

или.

x1 = -3/2,.

x2 = 2.

Оба корня входят в ОДЗ.

b) ОДЗ уравнения — множество (0;1)?(1;+?). Поскольку (см. свойство proprietateaP5 и формулу (2)).

уравнение примет вид.

или.

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 2, получим или log₂x = 1, откуда x = 2.

Некоторые специальные методы

Пример 6. Решить уравнения.

a) 2x = 9 — log3x;

b).

c) log2(x2 + 1) — log2x = 2x — x2;

d) log5(x + 2) = 4 — x;

e).

f) |log2(3x — 1) — log23| = |log2(5 — 2x) — 1|;

g) logx+1(x3 — 9x + 8) logx-1(x + 1) = 3;

h) log2(6x — x2 — 5) = x2 — 6x + 11.

Решение. a) Заметим, что x = 3 есть корень данного уравнения: 2³ = 9-log₃3, 8 = 9−1, 8 = 8. Других решений уравнение не имеет, так как левая часть уравнения представляет строго возрастающую функцию, а правая часть — строго убывающую функцию. Графики таких функций имеют не более одной точки пересечения и, следовательно, поскольку x = 3 является решением, следует, что других решений нет.

b) ОДЗ уравнения есть множество x? (1;+?). Обозначив log₃(x-1) = t получим квадратное уравнение относительно t

xt² + 4(x — 1)t — 16 = 0.

Дискриминант этого уравнения? = [4(x — 1)]² + 4x· 16 = 16x² + 32x + 16 = 16(x + 1)², а корни.

и.

Таким образом, получена совокупность уравнений.

log3(x — 1) = -4,.

log3(x — 1) = 4/x.

Из первого уравнения получим, а второе уравнение решается аналогично предыдущему примеру: заметив, что x = 4 есть корень уравнения, доказывается, что других корней нет. Следовательно, корнями исходного уравнения являются и x = 4.

c) ОДЗ уравнения определяется из системы.

x2 + 1 > 0,.

x > 0,.

откуда следует x? (0;+?). Используя свойство P3, получим равносильное уравнение.

Поскольку при x > 0, а знак равенства достигается лишь при x = 1, то левая часть уравнения В то же время правая часть уравнения принимает максимальное значение 1 при x = 1 (вершина параболы y = 2x — x² находится в точке (1;1)). Следовательно, уравнение имеет решения только если откуда x = 1.

d) Решая аналогично примеру a), получим x = 3.

e) Используя утверждение A1 (иррациональные уравнения), получим.

f) Используя свойства P2, P3 и свойства модуля (см., например, [2]), получим.

g) Находим ОДЗ уравнения.

x + 1 > 0,.		x > -1,.
x + 1? 1,.	x? 0,.		x > 1,.
x3 — 9x + 8 > 0,.	x3 — x — 8x + 8 > 0,.	x? 2,.
x — 1 > 0,.	x > 1,.	(x — 1)(x2 + x — 8) > 0,.
x — 1? 1,.	x? 2,.

x > 1,. x? 2,. x2 + x — 8 > 0,.	x > 1,. x? 2,.

Используя свойство P5, получим (в ОДЗ).

или.

log_x+1(x — 1)(x² + x-8) = log_x+1(x — 1)³,.

откуда следует уравнение.

(x — 1)(x² + x — 8) = (x — 1)³,.

x = 1,.

x2 + x — 8 = x2 — 2x + 1,.

откуда x₁ = 1, x₂ = 3.

Поскольку x = 1 не удовлетворяет ОДЗ, а остается лишь x = 3.

h) Поскольку функция f(x) = 6x — x² — 5 достигает своего максимума 4 при x = 3, следует, что.

log₂(6x — x² — 5)? 2.

Правая часть уравнения x² — 6x + 11 = x² — 6x + 9 + 2 = (x — 3)² + 2 и, следовательно, 2 — это наименьшее ее значение (достигается при x = 3). Таким образом, уравнение имеет решение лишь в случае, если одновременно log₂(6x — x²— 5) = 2 и x² — 6x + 11 = 2, то есть, если x = 3.

логарифмический уравнение неравенство решение.