Распространение плоских волн в кристаллах

Для анизотропных и негиротропных кристаллов тензор диэлектрической проницаемости симметричен i j () = j i (). Если среда прозрачна, то есть можно пренебречь поглощением, то все компоненты тензора вещественны, а симметрический вещественный тензор может быть приведен к главным осям, в которых отличны от нуля только его диагональные компоненты x x, y y, z z. В этих осях материальное уравнение принимает вид:

Dx = x x Ex, Dy = y y Ey, Dz = z z Ez. (3.10).

Естественно, что в главных осях и обратный тензор тоже диагональный, а дисперсионное соотношение (3.8) принимает вид уравнения Френеля:

анизотропный среда волновой кристалл.

.(3.11).

Для монохроматической волны фиксированной частоты уравнение Френеля (3.11) является квадратичным относительно квадрата показателя преломления n2. Поэтому каждому заданному направлению n = (nx, ny, nz) соответствуют два различных значения волнового числа k = n/c, то есть две нормальных волны, распространяющихся с различными фазовыми скоростями. Например, вдоль главной оси z получаем nx = ny = 0, nz = n, и уравнение Френеля (3.11) существенно упрощается:

n4 — n2(x x + y y) + x x y y = 0, n21 = x x, n22 = y y.

Рассмотрим поляризацию нормальных волн. Направим ось z' вдоль вектора n, тогда Dz' = 0 и уравнения (3.2) легко сводятся к виду:

D = n2E — n (nE), Dx' = n2Ex', Dy' = n2Ey',.

который с помощью материального уравнения (3.7) записывается в виде:

.

Поскольку все компоненты обратного тензора диэлектрической проницаемости действительны, то и множитель поляризации.

;

тоже действительное число. Таким образом, в анизотропной среде нормальные волны поляризованы линейно. Всякая другая волна в анизотропной среде расщепляется на две линейно поляризованные волны, фазовые скорости которых различны.

Найдем теперь направление групповой скорости нормальной волны. Пусть E® = eE®, тогда волновое уравнение (3.3) примет вид:

. (3.12).

Умножим уравнение (3.12) скалярно на е и продифференцируем его по k:

.

откуда получаем выражение для групповой скорости:

. (3.13).

Поскольку е = Е/Е, а в силу соотношения (3.2) [k e] = [k E]/E = H/(cE), то.

[e [k e]] = [H E]/(cE2) = 4S/(cE)2,.

то есть групповая скорость нормальной волны параллельна ее лучевому вектору.

Наконец, рассмотрим ограниченный в сечении пучок (почти плоскую волну) вида:

E® = A®exp (ikr), (3.14).

где амплитуда A® медленно меняется в пространстве:

|dA/dr| << k|A|. (3.15).

Пусть пучок является одной из нормальных волн:

A® = еA®. (3.16).

Найдем ротор векторного поля E® вида (3.14):

rot E = rot (A®eikr) = eikr rot A + [grad (eikr) A] = eikr (rot A + i[k A]).

Возьмем еще раз ротор от полученного выражения с учетом условий (3.15) и (3.16):

rot rot E = eikr rot (rot A + i[k A]) + [grad (eikr) (rot A + i[k A])].

eikr{rot (Ai[k e] + i[k (rot A + i[k A])]} =.

= eikr{iA rot [k e] + i[(grad A) [k e]] + i[k [(grad A) e]] - [k [k A]]}.

Тогда волновое уравнение (3.1) принимает вид:

i[(grad A) [k e]] + i[k [(grad A) e]] - {[k [k e]] +e2/c2}A = 0. (3.17).

Заметим, что в силу уравнения (3.12) выражение в фигурных скобках обращается в нуль. Умножая уравнение (3.17) скалярно на вектор е, получим:

e{k (e grad A) — e (k grad A) + (grad A)(ke) — e (k grad A)} = 0,.

(ke) (e grad A) — (ee) (k grad A) = 0,.

[e [k e]] (grad A) = 0. (3.18).

Укороченное уравнение (3.18) описывает распространение волнового пучка в анизотропной среде без учета дифракции и диссипации, из него следует, что амплитуда остается постоянной в направлении вектора [e [k e]], который параллелен лучевому вектору s.