Движение в поле центральной силы

Приступим к решению уравнения (8.9), которое описывает движение частицы массы /1 под действием центральной силы.

Эта сила коллинеарна радиус-вектору г. Поэтому ее момент равен нулю:

Как было доказано в разделе 4.3, в этом случае момент импульса частицы со временем не изменяется:

По определению векторного произведения радиус-вектор частицы г и ее импульс р перпендикулярны вектору L момента импульса:

При неизменном направлении вектора L эти условия будут соблюдаться для любого момента времени только тогда, когда частица движется в плоскости, к которой вектор L ортогонален (рис. 8.2). Построим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось z была сона;

правлена с вектором L. При этом частица будет двигаться в плоскости ху.

Рис. 8.2. Так как момент импульса частицы в центральном силовом поле не изменяется со временем, ее траектория представляет собой плоскую кривую.

Для описания движения частицы удобно использовать полярные координаты г и <�р, которые связаны с декартовыми координатами х и у соотношениями:

где г — расстояние от частицы до начала координат, а <�р — угол между радиус-вектором и осью х.

При движении частицы полярные координаты будут изменяться с течением времени:

Продифференцируем функции (8.12) по времени. Получим следующие выражения для проекций вектора скорости на оси координат:

Вычислим векторное произведение [ г гТ]. С учетом того, что г = 0 и ь_г = 0, будем иметь.

Используя соотношения (8.12) и (8.13), найдем, что.

Это равенство позволяет записать закон сохранения момента импульса (8.11) в виде

Найдем полную механическую энергию частицы Е = T+U. Используя соотношения (8.13), преобразуем квадрат скорости частицы следующим образом:

При этом кинетическая энергия частицы будет.

Так как центральной силе (8.10) соответствует потенциальная энергия для полной механической энергии частицы будем иметь выражение.

Когда кроме центральной силы (8.10), которая является консервативной, другие силы на частицу не действуют, справедлив закон сохранения полной механической энергии. Этот закон вместе с законом сохранения момента импульса (8.14) приводит к системе из двух дифференциальных уравнений для функций г = г (?) и <�р =.

где.

Из этой системы очень просто исключить угловую скорость ф, разрешив относительно нее уравнение (8.14):

Подстановка этого выражения в (8.16) дает.