Метод простой итерации

По аналогии с (2.1) систему (5.1) можно представить в следующей эквивалентной форме:

или.

где g (x) — итерационная вектор-функция векторного аргумента. Системы нелинейных уравнений часто возникают непосредственно в виде (5.2) (например, в численных схемах для дифференциальных уравнений), в этом случае никаких дополнительных усилий для преобразования уравнений (5.1) в систему (5.2) не требуется. Если продолжить аналогию с методом простой итерации для одного уравнения, то итерационный процесс, основанный на уравнении (5.2), можно организовать следующим образом:

• 1) выбирается некоторый начальный вектор х^((,) е 5_о(х₀, а) (предполагается, что х* е 5"(х₀, а));
• 2) последующие приближения вычисляются по формуле

или.

3)если.

то итерационный процесс завершен и.

Как и раньше, нам необходимо выяснить, при каких условиях.

Обсудим этот вопрос, выполнив простой анализ. Вначале мы введем ошибку /г-го приближения как е⁽^ = x⁽ⁱ⁾ — х*. Тогда мы можем записать.

и.

Подставим эти выражения в (5.3) и разложим g (x* + e^(/i)) по степеням е^(к> в окрестности х* как функцию векторного аргумента (предполагая, что все частные производные функции g (x) непрерывны). Учитывая также, что х* = g (x*), мы получим.

или в матричной форме.

где В = {b_nm} = I (х*)1 — итерационная матрица.

Если норма ошибки ||е®|| достаточно мала, то вторым слагаемым в правой части выражения (5.4) можно пренебречь, и тогда оно совпадает с выражением (2.16). Следовательно, условие сходимости итерационного процесса (5.3) вблизи точного решения описывается теоремой 3.1.

Сходимость метода простой итерации. Необходимое и достаточное условие для сходимости итерационного процесса (5.3):

и достаточное условие:

Эти условия имеют скорее теоретическое, чем практическое значение, так как мы не знаем х‘. По аналогии с (1.11) получим условие, которое может быть полезным. Пусть х* е 5_о(х₀, а) и матрица Якоби для функции g (x).

существует для всех x e S_n(x₀, a) (заметим, что C (x*) = В). Если элементы матрицы С (х) удовлетворяют неравенству.

для всех х е 5"(х₀, а), тогда достаточное условие (5.5) также выполняется для любой матричной нормы.

Пример 5.1 (метод простой итерации) Рассмотрим следующую систему уравнений:

Одна из возможностей представить эту систему в эквивалентной форме (5.2) — выразить Х из первого уравнения и х₂ из второго уравнения:

Тогда итерационная схема имеет вид.

Точное решение х* е 5"((2, 2), 1). Выберем начальный вектор х⁽⁰⁾ = (2,2) и ?_р= КТ⁵. Результаты вычислений представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Эти результаты показывают, что сходимость довольно медленная. Для того чтобы получить количественную характеристику сходимости, проведем простой анализ, считая х^(1/) точным решением. Матрица Якоби С (х) для нашей итерационной функции имеет вид.

тогда матрица В приближенно оценивается как.

Легко проверить, что ни условие (5.5), ни условие (5.6) не удовлетворяются, но сходимость имеет место, так как 5(B) ~ 0.8.

Часто можно ускорить сходимость метода простой итерации, слегка изменив процесс вычислений. Идея такой модификации очень проста: для вычисления п-й компоненты вектора х^(А+1) можно использовать не только (т = п,…, N), но также уже вычисленные компоненты вектора следующего приближения х^к^ (/= 1, п — 1). Таким образом, модифицированный метод простой итерации может быть представлен в виде следующей итерационной схемы:

Если приближения, генерируемые итерационным процессом (5.3), сходятся, то итерационный процесс (5.8) сходится, как правило, быстрее за счет более полного использования информации.

Пример 5.2 (модифицированный метод простой итерации) Модифицированная простая итерация для системы (5.7) представляется в виде.

Как и прежде, выберем начальный вектор х⁽⁰⁾ = (2, 2) и г_р = = 10^-5. Результаты вычислений представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

I Теболыное изменение порядка вычислений привело к уменьшению количества итераций в два раза, а значит, и к уменьшению количества операций в два раза.