Упражнения к главе i

1. Выразить cosпх и sin яд: через степени sin* и cos*, пользуясь формулой Муавра.

Отв. cos пх = cos ^пх — («7 ^ cos'*^-3 * sin² *-fcos'*-⁴ * sin⁴ * —…

sin л* =л cos'*-¹* sin*— ^ -j-) cos'" —³* sin³ *-f-? j cos'*-⁵*sin⁵*—…

2. Где лежат точки z, для которых | z | —R (z) ^ 1?

Отв. Внутри параболы r==—!- и на ней.

• 1 cos f
• 3. Представить в комплексной форме выражение у -1.

Ome. 1^Г+7 = /^cosf / sin-1).

4. Определить хну, если х -f*yl = Уа —Ы.

_Л /V ^а* + ^b* + ~^a «.

Отв.х = :?1/ -«Y» — , У = ±Л/ —-;

знаки нужно взять одинаковые, если b положительное, и разные, если b отрицательное.

• 5. Где лежат точки г, для которых:
  • а) |г| =52; б) И >2; в) ^Г> Ж^г2) = °;
  • д) г³— 11 =e>0; е) ж) I = 1?

I Z 1 I I Z — z₂

Отв. г) Гипербола, пара прямых при а = 0. д) Лемниската, е) Правая полуплоскость, включая границу, ж) Прямая, перпендикулярная в середине отрезка z_xz₂.

6. Когда три точки z_lt z₂, z₃ лежат на прямой линии?

Отв. Отношение разностей —-— должно быть действительным числом.

^г2 — ^zz

7. Когда четыре точки z_h z₂, z_3t z₄ лежа г на окружности?

Отв. Двойное отношение ———: —-— — действительное число.

^z2 — ^z9 ^z2 — ^г4

8. Проверить тождество | z_x + z₂1² -{-1 z_x — z₂1* = 2 (| z_x |² +1 z₂1²). Какое геометрическое предложение выражает это уравнение?

Отв. В параллелограме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов смежных сторон.

9. Какая точка z делит отрезок zz₂ в отношении XjiXj?

ГЛ____*2^г1 + * ^Z2

• 0тв• ^г=^гнг-
• 10. Треугольник имеет вершины г_ъ z₂, z₃. Где лежит его центр тяжести, если а) г каждой вершине масса X, б) в вершинах массы Х_ь Хг, Х₃?

Отв. a), ₌ ?i±?*±?i•; ₆) _{z =} ^i?i±^±Vs.

о >1 -h х₂ нх_8^[1]

16. Бесконечный ряд 2^ся ^т°гда и только тогда сходится, когда при л = 1.

произвольном выборе целых положительных чисел р, /?₂" •••, Рп> ••• имеем:

• [1] Показать, что центр тяжести системы материальных точек с массами >ьХ2,…, Х", находящихся в геометрических точках zlt z2i…, za, лежит в точке _^1*1 + *2*2 • «4~ *я*я 4+ **+••• + *Д 12. Для трбх точек zlt z2, z3 выполняются условия: Показать, что zlt z2y z3 суть вершины вписанного в единичный кругравностороннего треугольника. 13. Если гх + 2г2 4″ *з + zi = 0 н I zi I = I z21 = I *a I = I zi I = 10 четыреточки zt образуют вписанный в единичный круг прямоугольник. 14. zlt ztlг-,…— произвольная последовательность точек, z0—еепредельная точка. Показать, что из последовательности zi можно всегдавыбрать частичную последовательность zv z2,… так, чтобы zn — zq. 15. Из условия zn-*z0 показать, что zn = Zl Zn -» z0. Верно ли это, если, г0 = оо?