Уравнения в частных производных первого порядка

Основные понятия.

Дифференциальным уравнением в частных производных называется дифференциальное уравнение, в котором неизвестные функции являются функциями более чем от одной независимой переменной.

Рассмотрим несколько простейших примеров.

Пример 1.

Интегрируя по x, получаем:

где произвольная функция y.

Пример 2.

.

или:

.

Интегрируя по x, получаем:

.

где — произвольная функция .

Интегрируя теперь по, получим:

где — произвольная функция по х. Или обозначая:

.

окончательно будем иметь:

.

где, в силу произвольности функции, тоже является произвольной дифференцируемой функцией у.

Приведенные примеры наводят на мысль, что общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка зависит от одной произвольной функции.

Это предложение оказывается справедливым, но нуждается в уточнении. Для его уточнения сформулируем теорему С. В. Ковалевской о существовании и единственности решения уравнения в частных производных.

Теорема 1 (теорема Ковалевской). Существует единственное аналитическое в окрестности точки решение уравнения, разрешенного относительно одной из производных максимального порядка:

.

удовлетворяющее условиям при:

.

если функции ,…, являются аналитическими функциями в окрестности начальной точки, а является аналитической функцией в окрестности начальных значений своих аргументов, ,.

Решение определяется заданием начальных функций ,…, произвольно меняя которые в классе аналитических функций, мы получим совокупность аналитических решений исходного уравнения, зависящую от р произвольных функций.