Преобразование Фурье дискретного сигнала

Пусть дана дискретная последовательность х{п), «= 0,1,2,… Бессмысленно говорить о преобразовании Фурье от этой дискретной последовательности. Однако, как показано выше, дискретную последовательность л'(«) можно связать с временной функцией.

Эта функция имеет преобразование Фурье.

В то же время дискретная последовательность х (п) имеет zпреобразование.

Если сравнить (7.5) и (7.6), можно увидеть, что преобразование Фурье представляет собой частный случай z-преобразования, то есть преобразование Фурье можно получить как z-преобразование, вычисленное на единичной окружности z-плоскости:

Из выражения (7.5) видно, что спектральная характеристика является периодической функцией по частоте и период со_д -2п/Т. Спектр вещественного сигнала x*(t) полностью описывается в основной полосе частот [0,со_д/2]. Составляющие спектра, расположенные в этой полосе частот, называют основным спектром.

Соотношение, устанавливающее связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов, имеет вид.

где (Од = 2 я/Г.

Другими словами, спектр дискретного сигнала, с точностью до постоянного множителя /Т, равен сумме спектров исходного аналогового сигнала, смещенных друг относительно друга на все возможные значения частоты, кратные частоте дискретизации, то есть на значения тсОд, m = 0,+1,+2,…

При мер. Рассмотрим импульс, описываемый экспоненциальной функцией л:(/)=Л-ехр (—at), t>0. Пусть импульс подвергнут дискретизации с интервалом Т. Полученная при этом дискретная последовательность определяется дискретной функцией.

По формуле (7.5) найдем спектральную характеристику.

Применив формулу для суммы геометрической прогрессии, будем иметь.

На рис. 7.4 представлены спектральные характеристики, построенные по полученному выражению. Амплитудная и фазовая спектральные характеристики па интервале частот от 0 до 2л/Г выделены сплошной линией.

Рис. 7.4. Спектральные характеристики экспоненциальной дискретной последовательности: а — годограф, б — амплитудная, в — фазовая.