Сравнение двух экспериментальных распределений в четырехполыюй таблице с помощью критерия хи-квадрат

Задача 8.5. Одинаков ли уровень подготовленности учащихся в двух школах, если в первой школе из 100 человек поступили в вуз 82 человека, а во второй школе из 87 человек поступили в вуз 44?

Решение. Условия задачи можно представить в виде четырехпольной табл. 8.6, ячейки которой обозначаются обычно как Л, В, С и D. Иначе эта таблица носит также название таблица сопряженности. Четырехпольная таблица — это наименьшая из таблиц сопряженности, в которых обычно сочетание строк (от двух и более) и столбцов (от двух и более) является произвольным.

Таблица 8.6

Согласно данным, представленным в таблице 8.6, имеется четыре эмпирические частоты, это соответственно 82, 44, 18 и 43. Для того чтобы можно было использовать формулу (8.1), необходимо для каждой из этих эмпирических частот найти соответственные теоретические частоты. Здесь теоретические частоты вычисляются на основе имеющихся эмпирических частот.

Из табл. 8.6 следует, что 18 и 43 человек из первой и второй школ соответственно не поступили в вуз. Относительно этих данных подсчитывается величина Р. Это так называемая доля признака или частота. В данном случае доля признака Р подсчитывается, но формуле (8.3) следующим образом:

Величина Р позволяет рассчитать теоретические частоты, которые обозначим как /_т1, /_т2, /_тз и /_т4. Эти частоты показывают, сколько учащихся из первой и второй школ (теоретически) не должны были поступить в вуз — это частоты /_т3, /_т4. А также, сколько учащихся (теоретически) должны были поступить в вуз — это частоты/_т1 и /_т2. Теоретические частоты подсчитываются следующим образом:

Иными словами, из первой школы не должны были поступить в вуз 33 человека, а из второй 28,71. (Для большей точности вычислений по методу хи-квадрат желательно не округлять результаты вычислений, а сохранять сотые и даже тысячные значения после запятой). Исходя из вновь полученных теоретических частот — 33 и 28,71, мы можем произвести расчет того, сколько учащихся должны были бы теперь поступить в вуз из первой и второй школ? Обозначим эти частоты как /_т3 для первой и /_т4 для второй школ, получим соответственно:

Перепишем отдельно полученные теоретические частоты в новую табл. 8.7.

Таблица 8.7

• 8.2. Сравнение двух экспериментальных распределений.
• 195

Подчеркнем, что сумма по столбцам для вновь найденных «теоретических» частот должна совпадать с исходной, т. е. 67 + 33 = = 100 и 82 + 18 = 100, аналогично 58,29 + 28,71 = 87 и 44 + 43 = 87.

Теперь величина хи-квадрат эмпирическая подсчитывается по знакомой формуле (8.1). Для этого из величин, представленных в ячейках табл. 8.6, вычитаются соответствующие величины, представленные в ячейках табл. 8.7:

В данном случае число степеней свободы v = (k — 1)(с — 1) подсчитывается как произведение числа столбцов минус 1 на число строк минус 1. Иными словами v = (2 — 1)(2 — 1) = 1, поскольку здесь 2 строки и два столбца. И в соответствии с табл. 11 Приложения находим:

Строим «ось значимости»:

Полученная величина Хэмп попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу Я₁ о наличии различий между двумя эмпирическими распределениями. Таким образом, уровень подготовленности учащихся в двух школах оказался разным. На основе эмпирических данных можно утверждать, что уровень подготовленности учащихся в первой школе существенно выше, чем во второй. Особо подчеркнем, что без использования критерия хи-квадрат такого вывода сделать было бы нельзя!

Подчеркнем, что в пакетах STADIA и STATISTICA эта задача, несмотря на то, что здесь сравниваются два эмпирических распределения, решается точно так же, как задача 8.1.

Решим задачу, аналогичную задаче 8.5, т. е. задачу, в которой сравниваются две выборки, имеющие по два значения. Данные представлены в виде четырехпольной таблицы, или таблицы 2×2.

Задача 8.6. В двух школах района психолог выяснял мнения учителей об организации психологической службы в школе. В первой школе было опрошено 9 учителей, во второй 8. Психолога интересовал вопрос, в какой школе психологическая служба поставлена лучше? Учителя давали ответы по номинативной шкале: нравится (да), не нравится (нет).

Решение. Результаты опроса представим в виде четырехпольной табл. 8.8.

Таблица 8.8

Величина эмпирического значения хи-квадрат подсчитывается здесь по следующей формуле:

где N = A + B + C + D — общее число учителей обеих школ, принявших участие в опросе.

Подставляем исходные данные в формулу (8.5), получаем:

В данном случае число степеней свободы v = (k — 1)(с — 1) подсчитывается как произведение числа столбцов минус 1 на число строк минус 1. Иными словами v = (2 — 1)(2 — 1) = 1, поскольку у нас 2 строки и два столбца. По табл. 11 Приложения находим:

Строим «ось значимости»:

Полученная величина Хэмп попала в зону незначимости. Иными словами, следует принять гипотезу Щ об отсутствии различий между двумя эмпирическими распределениями. Таким образом, уровень организации психологической службы в обеих школах оказался одинаковым.